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c’est-à-dire

${\begin{aligned}{\frac {\lambda }{2}}+&\lambda \mathrm {\left({\frac {A}{2}}-{\frac {1}{2.3}}\right)} \omega +\lambda \mathrm {\left({\frac {B}{2}}-{\frac {A}{2.3}}+{\frac {1}{2.3.4}}\right)} \omega ^{2}\\&+\lambda \mathrm {\left({\frac {C}{2}}-{\frac {B}{2.3}}+{\frac {A}{2.3.4}}-{\frac {1}{2.3.4.5}}\right)} \omega ^{3}+\ldots \\=&\mathrm {A} +\mathrm {\left(2B-{\frac {A}{2}}\right)} \omega +\mathrm {\left(3C-{\frac {2B}{2}}+{\frac {A}{2.3}}\right)} \omega ^{2}\\&+\mathrm {\left(4D-{\frac {3C}{2}}+{\frac {2B}{2.3}}-{\frac {A}{2.3.4}}\right)} \omega ^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

d’où, en comparant les termes, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} &={\frac {\lambda }{2}},\\2\mathrm {B} &={\frac {(\lambda +1)\mathrm {A} }{2}}-{\frac {\lambda }{2.3}},\\3\mathrm {C} &={\frac {(\lambda +2)\mathrm {B} }{2}}-{\frac {(\lambda +1)\mathrm {A} }{2.3}}+{\frac {\lambda }{2.3.4}},\\4\mathrm {D} &={\frac {(\lambda +3)\mathrm {C} }{2}}-{\frac {(\lambda +2)\mathrm {B} }{2.3}}+{\frac {(\lambda +1)\mathrm {A} }{2.3.4}}-{\frac {\lambda }{2.3.4.5}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ayant ainsi déterminé les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ on mettra ${\frac {du}{dx}}\xi$ à la place de $\omega ,$ et changeant les puissances de $du$ en des différentielles de $u,$ on aura, en général,

$\Delta ^{\lambda }u={\frac {d^{\lambda }u}{dx^{\lambda }}}\xi ^{\lambda }+\mathrm {A} {\frac {d^{\lambda +1}u}{dx^{\lambda +1}}}\xi ^{\lambda +1}+\mathrm {B} {\frac {d^{\lambda +2}u}{dx^{\lambda +2}}}\xi ^{\lambda +2}+\mathrm {C} {\frac {d^{\lambda +3}u}{dx^{\lambda +3}}}\xi ^{\lambda +3}+\ldots .$

Cette formule servira donc à trouver immédiatement la différence d’un ordre quelconque d’une fonction quelconque de $x$ lorsque $x$ augmente successivement de, $\xi ,2\xi ,3\xi ,\ldots ,$ et cela au moyen des différentielles ordinaires ce qui peut être d’une grande utilité dans la théorie des séries.

Faisons maintenant $\lambda$ négatif, c’est-à-dire mettons $-\lambda$ à la place de $\lambda ,$ pour changer les différences en sommes, et l’on aura dans ce cas

$\sideset {}{^{\lambda }}\sum u={\frac {\int ^{\lambda }udx^{\lambda }}{\xi ^{\lambda }}}-\alpha {\frac {\int ^{\lambda -1}udx^{\lambda -1}}{\xi ^{\lambda -1}}}+\beta {\frac {\int ^{\lambda -2}udx^{\lambda -2}}{\xi ^{\lambda -2}}}-\gamma {\frac {\int ^{\lambda -3}udx^{\lambda -3}}{\xi ^{\lambda -3}}}+\ldots ,$