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8. De là et de ce qu’on a dit dans le n^o 5 il s’ensuit que, si dans une fonction $u$ d’un nombre quelconque de variables $x,y,z,t,\ldots$ on met $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta ,\ t+\theta ,\ldots$ à la place de ces variables, la fonction proposée sera augmentée d’un nombre indéfini de termes représentés chacun par

${\frac {\xi ^{\mu }\psi ^{\nu }\zeta ^{\varpi }\theta ^{\rho }\ldots }{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times 1.2.3\ldots \varpi \times 1.2.3\ldots \rho \times \ldots }}\times {\frac {d^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }dz^{\varpi }dt^{\rho }\ldots }},$

ou, ce qui revient au même, par

${\frac {\mathrm {M} \xi ^{\mu }\psi ^{\nu }\zeta ^{\varpi }\theta ^{\rho }\ldots }{1.2.3\ldots \left(\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots \right)}}\times {\frac {d^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }dz^{\varpi }dt^{\rho }\ldots }},$

$\mathrm {M}$ étant le coefficient du terme $x^{\mu }y^{\nu }z^{\varpi }t^{\rho }\ldots$ dans le polynôme

$x+y+z+t+\ldots$

élevé à la puissance

$\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots .$

Ainsi, pour avoir aisément les différents termes qui doivent composer l’accroissement de la valeur de la fonction $u$ lorsque $x,y,z,t,$ deviennent $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta ,\ t+\theta ,\ldots ,$ il n’y aura qu’à considérer la série

${\begin{aligned}&{\frac {x+y+z+t+\ldots }{1}}\\+&{\frac {(x+y+z+t+\ldots )^{2}}{1.2}}\\+&{\frac {(x+y+z+t+\ldots )^{3}}{1.2.3}}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, après avoir développé les puissances de $x+y+z+t+\ldots ,$ on changera, dans chaque terme, $x$ en ${\frac {\xi }{dx}},$ $y$ en ${\frac {\psi }{dy}},$ $z$ en ${\frac {\zeta }{dz}},$ $t$ en ${\frac {\theta }{dt}},\ldots ,$ et l’on multipliera le même terme par $d^{\lambda }u,$ l’exposant de la différentiation $\lambda ,$ étant égal à la somme des exposants de $x,y,z,t,\ldots$ dans le même terme.