où
exprime maintenant la différentielle seconde de
prise en faisant varier d’abord
et ensuite
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dxdy}}={\frac {d^{2}u}{dydx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517febe0cfcbda7d09aeb30f3540419c247e0162)
ce qui montre qu’il est indifférent dans quel ordre soient écrites les différences
En général donc on aura
![{\displaystyle u^{(\mu ),(\nu )}={\frac {d^{\mu +\nu }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e126fe0acb75ede4e444fb018a0a6cd95c9455)
où
indiquera la différentielle
ième de
prise en faisant varier
fois
et
fois
quelque ordre qu’on suive d’ailleurs dans ces variations de sorte qu’il y aura autant de manières différentes de trouver la valeur de
qu’il y aura de permutations entre deux choses différentes répétées l’une
fois, l’autre
fois ; or le nombre de ces permutations est, comme on sait, égal à
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots (\mu +\nu )}{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9d8ad3c3f18d04d0f1be5bf29042ffa63f2210)
Et si
est une fonction de plusieurs variables
on aura
![{\displaystyle u^{(\mu ),(\nu ),(\varpi ),(\rho ),\ldots }={\frac {d^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }u}{dx^{\mu }dy^{\nu }dz^{\varpi }dt^{\rho }\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8c8b6d83757eb9aea2f817e3479309bbf4851b)
et cette fonction pourra se produire d’autant de manières différentes qu’il y aura de permutations entre différentes choses dont l’une serait répétée
fois, l’autre
fois, la troisième
fois, la quatrième
fois, etc. ; en sorte que par les règles connues le nombre dont il s’agit sera
![{\displaystyle {\frac {1.2.3.4.5\ldots (\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots )}{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times 1.2.3\ldots \varpi \times 1.2.3\ldots \rho \times \ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e701454ad1d8545d4625312a941c85aa85af57)
lequel est aussi le coefficient du terme
dans la puissance
![{\displaystyle (x+y+z+t+\ldots )^{\mu +\nu +\varpi +\rho +\ldots }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e465278507ec1cb02ea255f93f4b2c28227a6ba)