Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/447

Ainsi la fonction $u$ deviendra, après les deux substitutions dont il s’agit,

${\begin{aligned}u+&u'\xi +u^{\ ,'}\psi \\+&{\frac {u''\xi ^{2}}{2}}\,+{\frac {u^{','}\xi \psi }{1.1}}\ \ +{\frac {u^{\ ,''}\psi ^{2}}{2}}\\+&{\frac {u'''\xi ^{3}}{2.3}}+{\frac {u^{'','}\xi ^{2}\psi }{2.1}}+{\frac {u^{',''}\xi \psi ^{2}}{1.2}}+{\frac {u^{\ ,'''}\psi ^{3}}{2.3}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Les accents qui sont avant la virgule se rapportent au changement de $x$ en $x+\xi ,$ et ceux qui sont après la virgule se rapportent au changement de $y$ en $y+\psi .$

En général, si $u$ est une fonction de $x,y,z,t,\ldots ,$ et qu’on y mette, à la place de ces variables, $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta ,\ t+\theta ,\ldots ,$ la fonction dont il s’agit deviendra $u$ plus un nombre indéfini de termes, tels que

${\frac {u^{(\mu ),(\nu ),(\varpi ),(\rho ),\ldots }\xi ^{\mu }\psi ^{\nu }\zeta ^{\varpi }\theta ^{\rho }}{1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times 1.2.3\ldots \varpi \times 1.2.3\ldots \rho \times \ldots }},$

$\mu ,\nu ,\varpi ,\rho$ étant supposés successivement $0,1,2,3,\ldots .$

6. Puisqu’en mettant $x+\xi$ à la place de $x$ dans $u,$ cette fonction devient

$u+u'\xi +{\frac {u''\xi ^{2}}{2}}+{\frac {u'''\xi ^{3}}{2.3}}+\ldots ,$

si l’on regarde $\xi$ comme infiniment petit et qu’on néglige les puissances $\xi ^{2},\xi ^{3},\ldots ,$ on aura simplement $u'\xi$ pour l’accroissement de $u\,;$ de sorte que, désignant cet accroissement par $du,$ et l’accroissement $\xi$ de $x$ par $dx,$ on aura

$du=u'dx\quad {\text{et}}\quad u'={\frac {du}{dx}}\,;$

ainsi, pour avoir la fonction $u',$ il n’y aura qu’à chercher li différentielle $du$ par les règles du calcul des infiniment petits, et la diviser ensuite par la différentielle $dx.$