où,
seront des fonctions de
dérivées de la fonction
de la même manière que
le sont de la fonction
et,
seront des fonctions dérivées de même de la fonction
et
des fonctions dérivées de
et ainsi des autres.
D’un autre côté, il est facile de voir que l’expression précédente ne sera autre chose que ce que devient la fonction
en y mettant à la fois
à la place de
ou bien ce que devient l’expression
![{\displaystyle u+p\xi +p'\xi ^{2}+p''\xi ^{3}+p'''\xi ^{4}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a29868c23f16b66088f4e8139ec7174b17f1fb)
en y mettant
à la place de
c’est-à-dire
![{\displaystyle u+p(\xi +\omega )+p'(\xi +\omega )^{2}+p''(\xi +\omega )^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bdc9beef27987238177823141406ba99dc2cce)
Or, en développant les puissances de
et ordonnant les termes, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}u+&p\omega +p'\omega ^{2}+p''\omega ^{3}+p'''\omega ^{4}+\ldots \\+&\left(p\,\ +2p'\ \ \omega +\ \ 3p''\ \omega ^{2}+\ \ 4p'''\omega ^{3}+\ldots \right)\xi \\+&\left(p'\,+3p''\ \omega +\ \ 6p'''\omega ^{2}+10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\omega ^{3}+\ldots \right)\xi ^{2}\\+&\left(p''+4p'''\omega +10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\omega ^{2}+20p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ \omega ^{3}+\ldots \right)\xi ^{3}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9769557d02a100d83fb67b6d0ab9cd6c55cf89df)
Donc, comme cette formule doit être identique avec la précédente on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\omega \ \ &=2p',&\rho \ \ &=3p'',&\sigma \ \ &=4p''',\ldots ,\\\omega '\ &=3p'',&\rho '\ &=6p''',&\sigma '\ &=10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,\\\omega ''&=4p''',\quad &\rho ''&=10p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad &\sigma ''&=20p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc814621a2cf41da59670c1522b2f5eb737b011b)
Donc
![{\displaystyle p'={\frac {\varpi }{2}},\quad p''={\frac {\varpi '}{3}},\quad p'''={\frac {\varpi ''}{4}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feac492e22530707a2c8acca2c4d15703c6794c7)
Or, de la même manière que
est dérivé de
l’est de
l’est de
l’est de
et ainsi de suite ; donc, si l’on fait
et qu’on désigne de même par
une fonction dérivée de
de la même manière que
l’est de
et par
une fonction dérivée de même de
et ainsi de suite, on