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où $p,q,p',q',r',p'',q'',\ldots$ seront de nouvelles fonctions de $x,y$ dérivées d’une certaine manière de la fonction $u.$

De même, si $u$ était fonction de trois variables $x,y,z,$ en mettant $x+\xi ,\ y+\psi ,\ z+\zeta$ à la place de $x,y,z,$ et développant par les séries, cette fonction deviendrait de la forme

${\begin{aligned}u+&p\ \ \xi \ \ +q\psi +r\zeta \\+&p'\ \xi ^{2}+q'\ \xi \,\ \psi +r'\,\ \ \psi ^{2}+\alpha '\,\xi \zeta +\beta '\ \psi \zeta \ +\gamma '\zeta ^{2}\\+&p''\xi ^{3}+q''\xi ^{2}\psi +r''\xi \psi ^{2}+s''\psi ^{3}+\alpha ''\xi \zeta ^{2}+\ldots \\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite, si la fonction $u$ renfermait quatre variables, ou cinq, etc.

3. Le Calcul différentiel, considéré dans toute sa généralité, consiste à trouver directement, et par des procédés simples et faciles, les fonctions $p,p',p'',\ldots ,q,q',q'',\ldots ,r,r',r'',\ldots$ dérivées de la fonction $u\,;$ et le Calcul intégral consiste à retrouver la fonction $u$ par le moyen de ces dernières fonctions.

Cette notion des Calculs différentiel et intégral me paraît la plus claire et la plus simple qu’on ait encore donnée ; elle est, comme on voit, indépendante de toute métaphysique et de toute théorie des quantités infiniment petites ou évanouissantes.

4. Considérons plus particulièrement le cas du n^o 1, où $u$ est supposé une fonction de $x$ seul, et voyons comment les fonctions $u,p,p',p'',\ldots$ dépendent les unes des autres.

Puisque la fonction $u,$ en y mettant $x+\xi$ à la place de $x,$ est devenue

$u+p\xi +p'\xi ^{2}+p''\xi ^{3}+\ldots ,$

si dans cette dernière fonction on met de nouveau $x+\omega$ à la place de $x,$ il est clair qu’elle deviendra de la forme

${\begin{aligned}u+&p\omega +p'\omega ^{2}+p''\omega ^{3}+p'''\omega ^{4}+\ldots \\+&\left(p\ \ +\varpi \,\ \omega +\rho \ \ \omega ^{2}+\sigma \ \ \omega ^{3}+\ldots \right)\xi \\+&\left(p'\ +\varpi '\,\omega +\rho '\,\omega ^{2}+\sigma '\ \omega ^{3}+\ldots \right)\xi ^{2}\\+&\left(p''+\varpi ''\omega +\rho ''\omega ^{2}+\sigma ''\omega ^{3}+\ldots \right)\xi ^{3}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$