que la différence des termes devant être divisible par ne pourra pas être moindre que or, prenant pour le premier terme, et faisant d’abord la différence égale à on aura pour le second terme la forme ou bien ou pour le troisième terme les formes ou bien ou pour le quatrième, les formes ou bien ou et pour le cinquième, ou bien ou Ainsi tous les cinq termes auront les formes requises et pourront par conséquent être premiers ; mais si l’on voulait y en joindre un sixième, alors on aurait la forme qui, étant divisible par ne peut pas donner des nombres premiers. On trouverait des résultats semblables en adoptant la forme pour la différence de la progression d’où l’on doit conclure que si est le premier terme de la progressions, alors il pourra y avoir cinq nombres premiers en progression arithmétique, et dont la différence ne soit pas divisible par mais qu’il ne pourra jamais y en avoir plus de cinq.
On aura, par exemple, les nombres ou etc. ; mais les sixièmes termes etc., ne seraient plus premiers.
3o On peut démontrer par une analyse semblable que, si sept nombres premiers sont en progression arithmétique, leur différence sera nécessairement divisible par à moins que ne soit le premier terme de la progression, auquel cas il ne pourra jamais y avoir plus de sept termes dans une progression dont la différence ne serait pas divisible par et ainsi de suite.
