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ajouter un quatrième terme qui sera $7\,;$ mais on ne pourrait pas aller au delà, parce que le suivant $9$ ne serait plus premier.

On ne pourrait pas prendre $3$ pour le troisième terme, car les deux premiers ne pourraient être alors que $1$ et $2\,;$ or celui-ci peut n’être pas regardé comme un nombre premier à cause qu’il est pair.

2^o Si cinq nombres premiers sont en probression arithmétique, leur différence doit être divisible par $30,$ à moins que $5$ ne soit l’un des termes de cette progression.

Nous avons déjà vu que tout nombre premier doit être $3$ ou $6m\pm 1\,;$ nous avons vu de plus que, si $3$ est un des termes de la progression arithmétique, il est impossible qu’elle ait plus de quatre termes qui soient des nombres premiers ; donc il faudra que les cinq termes de la progression proposée soient chacun de la forme $6m\pm 1.$ Or, $m$ pouvant être un nombre quelconque entier, il sera nécessairement d’une de ces formes

$5\mu ,\quad 5\mu \pm 1,\quad 5\mu \pm 2,$

qui renferment évidemment tous les nombres possibles ; donc, substituant ces formules à la place de $m,$ on aura les suivantes

$30\mu \pm 1,\quad 30\mu \pm 5,\quad 30\mu \pm 7,\quad 30\mu \pm 11,\quad 30\mu \pm 13,$

dont la seconde ne peut donner d’autres nombres premiers que $5\,;$ de sorte qu’en faisant abstraction, suivant l’hypothèse, du nombre $5,$ il faudra que les cinq termes de la progression soient renfermésdans ces quatre formules

$30\mu \pm 1,\quad 30\mu \pm 7,\quad 30\mu \pm 11,\quad 30\mu \pm 13.$

Maintenant nous avons déjà vu que la différence de la progression ne peut être que de la forme $6n\,;$ or $n$ peut être aussi de ces formes

$5\nu ,\quad 5\nu \pm 1,\quad 5\nu \pm 2\,;$

donc la forme $6n$ se réduira à celles-ci

$30\nu ,\quad 30\nu \pm 6,\quad 30\nu \pm 12.$