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les trois nombres en progression arithmétique qu’on suppose premiers ; et en excluant d’abord le nombre $3$ de la progression, il faudra que chacun de ces nombres soit de la forme $6m\pm 1\,;$ d’autre part, il est clair que la différence $a$ doit être un nombre pair, et par conséquent d’une de ces deux formes $6n$ ou $6n\pm 2\,;$ soit donc, s’il est possible, $a=6n\pm 2,$ et prenons d’abord $p=6m+1,$ on aura

$p+a=6(m+n)+3\quad {\text{ou}}\quad =6(m+n)-1$

et

$p-a=6(m-n)-1\quad {\text{ou}}\quad =6(m-n)+3\,;$

et ainsi il est impossible que $p+a$ et $p-a$ soient à la fois de la forme $6\mu \pm 1\,;$ prenons ensuite $p=6m-1,$ on aura

$p+a=6(m+n)+1\quad {\text{ou}}\quad =6(m+n)-3$

et

$p-a=6(m-n)-3\quad {\text{ou}}\quad =6(m-n)+1\,;$

d’où l’on voit que $p+a$ et $p-a$ ne pourront pas être à la fois de la forme $6\mu \pm 1\,;$ donc il est impossible que $a$ soit de la forme $6n\pm 2\,;$ par conséquent il faudra que $a$ soit toujours de la forme $6n,$ c’est-à-dire divisible par $6.$

Si l’on voulait admettre le nombre $3$ pour un des termes de la progression, alors la différence pourrait être de la forme $6n\pm 2.$ Supposons d’abord que $3$ soit le premier terme de la progression ; le second se trouvera de la forme $6n\pm 2+3$ ou $6n\pm 1,$ et le troisième de la forme $12n\pm 4+3$ ou $6n\pm 1\,;$ ainsi ils pourront être tous les trois premiers ; mais si l’on y en ajoutait un quatrième, celui-ci ne pourrait jamais être premier, car sa forme serait $18n\pm 6+3,$ qui est divisible par $3.$ On pourra, par exemple, former ces progressions de trois termes $3,5,7,$ ou $3,7,11$ ou $3,11,19,$ etc. ; donc les différences ne seront pas divisibles par $6\,;$ mais ces progressions ne pourront jamais aller au delà de trois termes.

Si l’on prend $3$ pour le second terme de la progression, alors le premier ne pourra être que $1,$ et le troisième sera $5\,;$ dans ce cas, on y pourra