les trois nombres en progression arithmétique qu’on suppose premiers ; et en excluant d’abord le nombre
de la progression, il faudra que chacun de ces nombres soit de la forme
d’autre part, il est clair que la différence
doit être un nombre pair, et par conséquent d’une de ces deux formes
ou
soit donc, s’il est possible,
et prenons d’abord
on aura
![{\displaystyle p+a=6(m+n)+3\quad {\text{ou}}\quad =6(m+n)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87ec57ae087a7ffdf0755d62eb001796038af41)
et
![{\displaystyle p-a=6(m-n)-1\quad {\text{ou}}\quad =6(m-n)+3\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31db789d9926a646118ea7d85af5b03452430566)
et ainsi il est impossible que
et
soient à la fois de la forme
prenons ensuite
on aura
![{\displaystyle p+a=6(m+n)+1\quad {\text{ou}}\quad =6(m+n)-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2108d96783a79e12aff1ef789d330a68fd986761)
et
![{\displaystyle p-a=6(m-n)-3\quad {\text{ou}}\quad =6(m-n)+1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ee5d214fd899bcd613c43f770c776bbe3b713c)
d’où l’on voit que
et
ne pourront pas être à la fois de la forme
donc il est impossible que
soit de la forme
par conséquent il faudra que
soit toujours de la forme
c’est-à-dire divisible par ![{\displaystyle 6.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641abae36403783c71568aae30295e0e32b72daa)
Si l’on voulait admettre le nombre
pour un des termes de la progression, alors la différence pourrait être de la forme
Supposons d’abord que
soit le premier terme de la progression ; le second se trouvera de la forme
ou
et le troisième de la forme
ou
ainsi ils pourront être tous les trois premiers ; mais si l’on y en ajoutait un quatrième, celui-ci ne pourrait jamais être premier, car sa forme serait
qui est divisible par
On pourra, par exemple, former ces progressions de trois termes
ou
ou
etc. ; donc les différences ne seront pas divisibles par
mais ces progressions ne pourront jamais aller au delà de trois termes.
Si l’on prend
pour le second terme de la progression, alors le premier ne pourra être que
et le troisième sera
dans ce cas, on y pourra