J’avoue au reste que cette méthode devient extrêmement laborieuse, et presque impraticable, lorsque
est un très-grand nombre ; mais il peut y avoir des moyens d’en simplifier la pratique, et c’est une recherche à laquelle nous invitons les Géomètres.
Remarque II.
8. On pourrait déduire du théorème de M. Fermat une autre démonstration de celui de
Wilson beaucoup plus simple que celle que nous en avons donnée ci-dessus.
Car, si l’on considère la suite des nombres naturels
élevés à la puissance
ième, et qu’on cherche la différence
ième des termes de cette suite, il est facile de voir, par la théorie des différences, qu’elle sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}n^{n-1}&-(n-1)(n-1)^{n-1}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}(n-2)^{n-1}\\&-{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3}}(n-3)^{n-1}+\ldots +1\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b2d9e0f986108e00908e16127a6b402cff46f2)
d’autre part, comme la série
![{\displaystyle 1,\quad 2^{n-1},\quad 3^{n-1},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1ef4457103a14374129cf38bff247239fdfde)
est une série algébrique de l’ordre
ième on sait que la différence du même ordre sera exprimée par le produit continuel des nombres ![{\displaystyle 1,2,3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97412224ac90a004bbefc1dba87cb3fcfa159561)
ainsi l’on aura l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}1.2.3.4\ldots (n-1)=&n^{n-1}-(n-1)(n-1)^{n-1}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}(n-2)^{n-1}\\&-{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3}}(n-3)^{n-1}+\ldots +1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9780806d9078981060786a4a245d30c3108856b0)
Supposons maintenant qu’on divise le second membre de cette équation par
et qu’on ne veuille tenir compte que du reste qui en proviendra il est d’abord clair que le terme
donnera pour reste
et que les termes
donneront tous l’unité pour reste, par le théorème de M. Fermat ; donc, mettant à la place de ces termes