Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/432

et l’on aura les formules suivantes

${\begin{aligned}&1.2\,\ .3\ \ldots (n-1)+1,\\&1.2\,\ .3\ \ldots (n-2)-1,\\&1.2^{2}.3\ \ldots (n-3)+1,\\&1.2^{2}.3^{2}.4\ldots (n-4)-1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

qui seront toutes divisibles par $n\,;$ donc aussi

$\left[123\ldots \left({\frac {n-1}{2}}\right)\right]^{2}\pm 1$

sera divisible par $n,$ le signe supérieur ayant lieu lorsque ${\frac {n-1}{2}}$ est un nombre pair, et l’inférieur lorsque ${\frac {n-1}{2}}$ est impair.

1^o Soit ${\frac {n-1}{2}}=2m,$ et par conséquent $n=4m+1\,;$ dans ce cas $(1.2.3\ldots 2m)^{2}+1$ sera divisible par $n.$

Ainsi l’on aura une somme de deux carrés qui sera divisible par $4m+1$ lorsque ce nombre sera premier ; c’est ce qu’on n’avait pu trouver jusqu’à présent d’une manière générale ; seulement on avait pu prouver, d’une manière même assez indirecte, qu’il existait toujours une pareille somme divisible par $n$ lorsque $n$ était de la forme $4m+1$ (voyez le tome V des Nouveaux Mémoires de Pétersbourg).

2^o Soit ${\frac {n-1}{2}}=2m-1,$ et par conséquent $n=4m-1\,;$ dans ce cas $\left[1.2.3\ldots (2m-1)\right]^{2}-1$ sera divisible par $n.$

Mais

$\left[1.2.3\ldots (2m-1)\right]^{2}-1=\left[1.2.3\ldots (2m-1)+1\right]\left[1.2.3\ldots (2m-1)-1\right]\,;$

donc, puisque $n$ est un nombre premier, il faudra que l’un ou l’autre des