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Donc :

1^o Si $x^{n-1}$ est divisible par $n,$ ce qui ne peut arriver que lorsque $x$ est égal à zéro ou égal à un multiple de $n,$ le nombre

$(x+1)(x+2)(x+3)\ldots (x+n-1)+1$

sera toujours divisible par $n\,;$ ce qui donne le Théorème de M. Wilson en faisant $x=0.$

2^o Si $x$ n’est ni nul ni divisible par $n,$ ce qui arrive lorsque $x=\mu n+\rho ,$ $\rho$ étant un nombre quelconque entier moindre que $n,$ il est clair que quelqu’un des nombres

$x+1,\quad x+2,\quad x+3,\ldots ,\quad x+n-1$

sera nécessairement divisible par $n,$ et que le produit

$(x+1)(x+2)(x+3)\ldots (x+n-1)$

sera par conséquent toujours divisible par $n\,;$ donc $-x^{n-1}+1,$ ou bien $x^{n-1}-1$ sera dans ce cas toujours divisible par $n\,;$ ce qui est le fameux Théorème de Fermat dont M. Euler a donné plusieurs démonstrations dans les Commentaires de Pétersbourg. La nôtre a, comme on voit, l’avantage de faire voir la liaison et la dépendance mutuelle des deux Théorèmes dont il s’agit.

Corollaire II.

6. Puisque

$n-1,\quad n-2,\quad n-3,\ldots$

étant divisés par $n$ donnent pour restes

$-1,\quad -2,\quad -3,\ldots ,$

on pourra mettre ces restes à la place des nombres $n-1,n-2,\ldots$ dans la formule

$1.2.3\ldots (n-1)\,;$