Corollaire.
3. Il est clair, par la théorie des équations, que les coefficients
ne sont autre chose que les sommes des nombres naturels
jusqu’à
inclusivement, des produits de ces nombres multipliés deux à deux, trois à trois, etc. ; en sorte que le dernier coefficient
sera égal au produit
ainsi tous les nombres
seront nécessairement entiers.
Théorème.
4. Les mêmes choses étant posées que dans le Lemme précédent, je dis que, si
est un nambre premier, les nombres
jusqu’à
inclusivement, sont tous divisibles par
et que le dernier nombre
sera divisible par
étant augmenté de l’unité.
On sait que les expressions
![{\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}},\ \ {\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}},\ldots \ \ {\frac {(n-1)(n-2)}{2}},\ldots \ \ {\frac {(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6a3f6cd373ce63c4c474bac816801e6932c035)
dénotent toujours des nombres entiers, tant que
est un nombre entier ; puisque ce sont les coefficients du binôme élevé à la puissance
ou
ou, etc. De plus il est clair que, si
est un nombre premier, les nombres
![{\displaystyle {\frac {n(n-1)}{1.2}},\quad {\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/623cc1cc1abad1903b9a74e88c9d3f7cccccc268)
seront tous divisibles par
à l’exception seulement du dernier nombre
![{\displaystyle {\frac {n(n-1)(n-2)\ldots 1}{1.2.3\ldots n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0bc8415312841565d3a525184af0bfba97bf2b)
qui est égal à l’unité ; car il est visible que le numérateur de chacun de ces nombres est divisible par
et que le dénominateur ne l’est pas, tant que
est premier ; d’où il s’ensuit qu’après avoir divisé le numérateur