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où $f'$ et $f''$ seront racines d’une équation du second degré, ainsi que $g'$ et $g''$ ; mais, puisque $g'=x'x''$ et $g''=x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ on aura $g'=g''=a^{2}\,;$ par conséquent les deux facteurs de l’équation dont il s’agit seront

${\begin{aligned}x^{2}-f'\ x+a^{2}=&0,\\x^{2}-f''x+a^{2}=&0.\end{aligned}}$

Qu’on en fasse donc le produit, on aura

$x^{4}-(f'+f'')x^{3}+\left(f'f''+2a^{2}\right)x^{2}-a^{2}(f'+f'')x+a^{4}=0\,;$

donc

$f'+f''=-2a,\quad f'f''+2a^{2}=2a^{2}-b^{2}\,;$

par conséquent

$f'f''=-b^{2}\,;$

Oe sorte que l’équation qui aura pour racines les quantités $f'$ et $f''$ sera

$f^{2}+2af-b^{2}=0.$

Au reste, il est clair que si, dans l’équation en $x$ du quatrième degré, on fait $x=az,$ on aura une équation en $z$ du genre des réciproques, et dans laquelle on pourra, par conséquent, faire disparaître toutes les puissances impaires de l’inconnue en faisant $z={\frac {1-y}{1+y}}\,;$ de sorte que la substitution propre pour cet effet sera de faire d’abord $x={\frac {a(1-y)}{1+y}}.$

Si l’on tire la valeur de $y$ de cette équation, on a

$y={\frac {a-x}{a+x}}=1-{\frac {2x}{a+x}}\,;$

mais on a

${\frac {x}{a+x}}={\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{b}}=\mathrm {\frac {MD}{MN}} \,;$

donc on aura

$y=1-\mathrm {{\frac {2MD}{MN}}={\frac {MN-2MD}{MN}}={\frac {2DR}{MN}}} ={\frac {2\mathrm {DR} }{b}},$

supposant que $\mathrm {R}$ soit le point du milieu de la ligne $\mathrm {MN} .$ De là on voit