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De là il s’ensuit que le Problème proposé peut toujours se réduire à la résolution d’une équation du degré ${\frac {\mu }{2}}$ ou ${\frac {\mu -1}{2}}.$

Au reste si, au lieu de déterminer l’inconnue $x,$ on voulait déterminer l’inconnue $r,$ on parviendrait à une équation du genre des réciproques ; car les deux équations

$x\left(1-r^{\mu }\right)=a(1-r),\quad x^{2}\left(1-r^{2\mu }\right)=b^{2}\left(1-r^{2}\right)$

donnant

$x\left(1+r^{\mu }\right)={\frac {b^{2}}{a}}(1+r),$

on aura, en chassant $x,$

${\frac {\left(1-r^{\mu }\right)}{\left(1+r^{\mu }\right)}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {1-r}{1+r}},$

ou bien, en divisant par $1-r,$

${\frac {1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots +r^{\mu -1}}{1+r^{\mu }}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {1}{1+r}}\,;$

d’où, en multipliant en croix et faisant, pour plus de simplicité, ${\frac {b^{2}}{a^{2}}}=c^{2},$ on aura

$\left(c^{2}-1\right)r^{\mu }+2c^{2}\left(r^{\mu -1}+r^{\mu -2}+\ldots +r\right)+c^{2}-1=0,$

c’est-à-dire

$r^{\mu }+{\frac {2c^{2}}{c^{2}-1}}\left(r^{\mu -1}+r^{\mu -2}+\ldots +r\right)+1=0,$

équation réductible au degré ${\frac {\mu }{2}}$ ou ${\frac {\mu -1}{2}}$ par les méthodes connues.

Ce qu’il y aura de plus simple pour cela ce sera d’employer la substitution de $r={\frac {1-y}{1+y}},$ laquelle changera l’équation

${\frac {1-r^{\mu }}{1+r^{\mu }}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {1-r}{1+r}}$

en celle-ci

${\frac {(1+y)^{\mu }-(1-y)^{\mu }}{(1+y)^{\mu }+(1-y)^{\mu }}}={\frac {a^{2}y}{b^{2}}},$

où toutes les puissances impaires de $y$ disparaîtront d’elles-mêmes.