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On prouvera maintenant, par un raisonnement semblable à celui qu’on a fait plus haut, que le premier terme $x$ et le dernier $r^{\mu -1}x$ de la progression continue devront être également racines de l’équation précédente mais en divisant la valeur de $r^{\mu }$ par celle de $r,$ on a

$r^{\mu -1}={\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x}{x\left(a^{2}+b^{2}-2ax\right)}},$

donc

$r^{\mu -1}x={\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x}{a^{2}+b^{2}-2ax}}.$

De là, en nommant $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\mu )}$ les racines de l’équation précédente, on aura cette condition, entre les deux racines $x',x'',$

$2ax'x''-\left(a^{2}+b^{2}\right)(x'+x'')+2ab^{2}=0,$

et comme il n’y a pas plus de raison pour qu’une telle relation ait lieu entre les racines $x',x''$ qu’entre les racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ ou $x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},$ ou, etc., on aura de même

${\begin{aligned}2ax'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+2ab^{2}&=0,\\2ax^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}-\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,+x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\right)+2ab^{2}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

le nombre des équations étant ${\frac {\mu }{2}}$ ou ${\frac {\mu -1}{2}}$ suivant que $\mu$ sera pair ou impair.

D’où, et de ce qu’on a démontré dans le n^o 111, il s’ensuit que l’équation du $\mu$^ième degré doit être décomposable en ${\frac {\mu }{2}}$ ou ${\frac {\mu -1}{2}}$ équations du second degré, telles que

${\begin{aligned}x^{2}-f'\,\ x+g'\ \ &=0,\\x^{2}-f''\,x+g''\ &=0,\\x^{2}-f'''x+g'''&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

dans lesquelles les coefficients $f',f'',f''',\ldots$ seront racines d’une même équation du degré ${\frac {\mu }{2}}$ ou ${\frac {\mu -1}{2}},$ ainsi que les coefficients $g',g'',g''',\ldots .$