Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/415

solution que je viens de donner est en quelque façon plus directe et plus lumineuse, puisqu’elle fait voir la raison pourquoi l’équation du quatrième degré, à laquelle on est naturellement conduit, doit être résoluble au moyen de deux du second ; et, de l’autre, la règle que Newton établit pour le choix des inconnues n’a point été démontrée par cet Auteur et ne peut l’être, si je ne me trompe, que par les principes généraux que nous avons établis ci-dessus. Mais ce n’est pas ici le lieu de nous étendre sur ce sujet.

114. On pourrait aussi, par la méthode précédente, résoudre avec la même facilité le Problème où l’on demanderait un nombre quelconque $\mu$ de quantités en proportion continue, dont la somme et celle de leurs carrés seraient données.

Car, nommant $x$ le premier terme de la progression, et $rx$ le second, on aura d’abord ces deux équations

${\begin{aligned}x\ \ \left(1+r\ \ +r^{2}+r^{3}+\ldots +r^{\mu -1}\quad \right)=&a,\\x^{2}\left(1+r^{2}+r^{4}+r^{6}+\ldots +r^{2(\mu -1)}\right)=&b^{2},\end{aligned}}$

qui se changent en ces deux-ci

${\begin{aligned}x\ \left(1-r^{\mu }\ \ \right)=&a\ \ (1-r),\\x^{2}\left(1-r^{2\mu }\right)=&b^{2}\left(1-r^{2}\right)\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire, comme plus haut,

${\begin{aligned}r\ =&{\frac {a^{2}-b^{2}-2ax}{a^{2}-b^{2}}},\\r^{\mu }=&{\frac {2ab^{2}+\left(a^{2}+b^{2}\right)x}{\left(a^{2}-b^{2}\right)x}}.\end{aligned}}$

La valeur de $r,$ qu’on peut mettre, comme ci-devant, sous la forme

$r=c-ex,$

étant substituée dans la première équation, donnera celle-ci

$x\left[1+(c-ex)+(c-ex)^{2}+(c-ex)^{3}+\ldots +(c-ex)^{\mu -1}\right]-a=0,$

laquelle sera, comme on voit, du degré $\mu .$