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Maintenant, à cause de

${\frac {a^{2}+b^{2}}{2a}}={\frac {c}{e}}\quad {\text{et}}\quad b^{2}={\frac {c^{2}-1}{e^{2}}},$

les deux facteurs de cette équation seront

${\begin{aligned}x^{2}-f'\ x+{\frac {cf'\ }{e}}+{\frac {1-c^{2}}{e^{2}}}=0,\\x^{2}-f''x+{\frac {cf''}{e}}+{\frac {1-c^{2}}{e^{2}}}=0,\end{aligned}}$

qui, étant multipliés l’un par l’autre, donnent

$x^{4}-(f'+f'')x^{3}+\left[f'f''+{\frac {c}{e}}(f'+f'')+{\frac {2\left(1-c^{2}\right)}{e^{2}}}\right]x^{2}$

$-\left[{\frac {2c}{e}}f'f''+{\frac {1-c^{2}}{e^{2}}}(f'+f'')\right]x+{\frac {c^{2}}{e^{2}}}f'f''+{\frac {c\left(1-c^{2}\right)}{e^{3}}}(f'+f'')+{\frac {\left(1-c^{2}\right)}{e^{4}}}=0.$

La comparaison des trois premiers termes de cette équation avec ceux de la précédente donne d’abord

$f'+f''={\frac {1+3c}{e}},$

$f'f''+{\frac {c}{e}}(f'+f'')+{\frac {2\left(1-c^{2}\right)}{e^{2}}}={\frac {1+2c+3c^{2}}{e^{2}}},$

et par conséquent

$f'f''={\frac {-1+c+2c^{2}}{e^{2}}}.$

Et l’on trouvera que ces valeurs de $f'+f''$ et de $f'f''$ satisferont aussi à la comparaison des autres termes.

Ainsi, les quantités $f'$ et $f''$ seront les racines de cette équation

$f^{2}-{\frac {1+3c}{e}}f+{\frac {-1+c+2c^{2}}{e^{2}}}=0.$

J’avoue qu’on peut résoudre le Problème précédent d’une manière plus simple, comme Newton l’a fait dans son Arithmétique universelle, où, à l’aide d’un certain choix entre les inconnues, il parvient d’abord à deux équations du second degré ; mais, d’un côté, il me semble que la