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où les coefficient $f'$ et $f''$ seront racines d’une équation du second degré ainsi que les coefficients $g'$ et $g''.$

Et comme ces deux équations doivent renfermer, l’une les deux racines $x',x'',$ et l’autre les deux autres racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ on aura

$f'=x'+x'',\quad g'=x'x'',\quad f''=x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad g''=x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;$

donc on aura

${\begin{aligned}2ag'\ -\left(a^{2}+b^{2}\right)f'\ +2ab^{2}=&0,\\2ag''-\left(a^{2}+b^{2}\right)f''+2ab^{2}=&0,\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}g'\ =&{\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)f'-2ab^{2}}{2a}}\\g''=&{\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)f''-2ab^{2}}{2a}}.\end{aligned}}$

De sorte que les deux facteurs de l’équation proposée seront

${\begin{aligned}x^{2}-f'\ x+{\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)f'\ -2ab^{2}}{2a}}=&0,\\x^{2}-f''x+{\frac {\left(a^{2}+b^{2}\right)f''-2ab^{2}}{2a}}=&0.\end{aligned}}$

Pour le faire voir et trouver en même teinps l’équation dont les racines seront $f'$ et $f'',$ il faut chercher d’abord l’équation du Problème en $x.$ Or faisant, pour abréger,

$c={\frac {a^{2}+2b^{2}}{a^{2}-b^{2}}},\quad e={\frac {2a}{a^{2}-b^{2}}},$

on aura $r=c-ex,$ et cette valeur, étant substituée dans l’équation

$x\left(1+r+r^{2}+r^{3}\right)=a,$

donnera, en ordonnant les termes par rapport à $x,$ celle-ci

$x^{4}-{\frac {1+3c}{e}}x^{3}+{\frac {1+2c+3c^{2}}{e^{2}}}x^{2}-{\frac {1+c+c^{2}+c^{3}}{e^{3}}}x+{\frac {a}{e^{3}}}=0.$