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eût cherché l’inconnue $u,$ on serait tombé dans une équation semblable ; car, faisant $z=su,$ on aurait $y=s^{2}u$ et $x=s^{3}u\,;$ de sorte que les équations en $s$ et $u$ seraient

$u\left(1+s+s^{2}+s^{3}\right)=a,\quad u^{2}\left(1+s^{2}+s^{4}+s^{6}\right)=b^{2},$

c’est-à-dire entièrement semblables aux équations en $x$ et $r.$ D’où je conclus d’abord que la valeur de l’inconnue $u$ sera nécessairement aussi une des racines de l’équation en $x$ trouvée ci-dessus.

Or, on a $u=r^{3}x,$ et, divisant la valeur de $r^{4},$ trouvée ci-dessus, par celle de $r,$ on a

$r^{3}={\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x}{x\left(a^{2}+b^{2}-2ax\right)}}\,;$

par conséquent,

$u={\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x}{a^{2}+b^{2}-2ax}}.$

Ainsi, si l’on dénote par $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ les quatre racines de l’équation en $x$ dont il s’agit, ces racines seront telles, qu’on aura

$x''={\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x'}{a^{2}+b^{2}-2ax'}},$

c’est-à-dire

$2ax'x''-\left(a^{2}+b^{2}\right)(x'+x'')+2ab^{2}=0\,;$

or, il n’y a pas plus de raison pour que cette équation subsiste entre les deux racines $x',x''$ qu’entre les deux autres $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;$ par conséquent on aura aussi

$2ax'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+2ab^{2}=0.$

Voilà donc deux équations semblables qui ont lieu entre les racines $x',x''$ et $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et qui sont de plus telles, qu’elles ne changent point en changeant $x'$ en $x''$ et $x'''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;$ donc, par le n^o 111, on pourra sûrement décomposer l’équation en question du quatrième degré en deux autres du second degré, telles que

${\begin{aligned}x^{2}-f'\ x+g'\ =&0,\\x^{2}-f''x+g''=&0,\end{aligned}}$