deux dernières, donnent celles-ci
![{\displaystyle x\left(1+r+r^{2}+r^{3}\right)=a,\quad x^{2}\left(1+r^{2}+r^{4}+r^{6}\right)=b^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44919c795bd4530f4f44ed765e64bcf0926263a8)
d’où il ne s’agira plus que d’éliminer ![{\displaystyle r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10110093812676dd04a92ce4c8b75940c366330a)
Pour faciliter cette élimination je multiplie la première par
et la seconde par
j’ai ainsi
![{\displaystyle x\left(1-r^{4}\right)=a(1-r),\quad x^{2}\left(1-r^{8}\right)=b^{2}\left(1-r^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d873d6b69d5b01e4a973153faa7d30eb4d4f850)
et, divisant cette dernière par l’autre, j’aurai
![{\displaystyle x\left(1+r^{4}\right)={\frac {b^{2}(1+r)}{a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c072dd1c5557046330839f75f51c73764785d7)
de sorte qu’on aura maintenant ces deux-ci
![{\displaystyle x\left(1-r^{4}\right)=a(1-r),\quad x\left(1+r^{4}\right)={\frac {b^{2}}{a}}(1+r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0352500e17459643ce55258bf608bef6427751b)
d’où il est facile de tirer
![{\displaystyle {\begin{aligned}r\ =&{\frac {a^{2}+b^{2}-2ax}{a^{2}-b^{2}}},\\r^{4}=&{\frac {2ab^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)x}{\left(a^{2}-b^{2}\right)x}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043db4d0f959283a59386dc6b926c92caf9bf52d)
Si l’on substitue maintenant la valeur de
que donne la première de ces équations, dans la seconde, on aura une équation finale en
qui, étant développée, montera au cinquième degré, mais si l’on substitue la même valeur de
dans l’équation primitive
![{\displaystyle x\left(1+r+r^{2}+r^{3}\right)=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca03404301223d5573f8cf85b66235e6a4720bd0)
on en aura une en
qui ne montera qu’au quatrième, et qui sera l’équation la plus simple qu’on puisse avoir pour la détermination de l’inconnue ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Je vais prouver maintenant, sans connaître même la forme de cette équation, qu’elle doit être décomposable en deux équations du second degré, moyennant une autre équation du second degré aussi.
Pour cela, je remarque que si, au lieu de chercher l’inconnue
on