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et par conséquent égales deux à deux ; de sorte que l’équation en $y,$ qui devrait être naturellement du degré $\mu ,$ s’abaissera d’elle-même au degré ${\frac {\mu }{2}}.$

On pourrait aussi employer une autre substitution qui abaisserait de même l’équation, mais en faisant disparaître toutes les puissances impaires de l’inconnue ; c’est celle-ci $x={\frac {1-y}{1+y}},$ laquelle donne $y={\frac {1-x}{1+x}}\,;$ car alors les racines de la transformée en $y$ seraient

${\frac {1-x'}{1+x'}},\quad {\frac {1-x''}{1+x''}},\quad {\frac {1-x'''}{1+x'''}},\quad {\frac {1-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{1+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\ldots ,$

c’est-à-dire (à cause de $x''={\frac {1}{x'}},\ x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {1}{x'''}},\ldots$)

${\frac {1-x'}{1+x'}},\quad {\frac {x'-1}{x'+1}},\quad {\frac {1-x'''}{1+x'''}},\quad {\frac {x'''-1}{x'''+1}},\ldots ,$

et par conséquent égales deux à deux, et de signes contraires.

113. Dans l’exemple précédent, c’est par la forme même de l’équation qu’on a reconnu la relation qu’il doit y avoir entre ses racines, et qui la rend susceptible de réduction ; mais on peut aussi déduire cette connaissance de la nature même du Problème qu’on a à résoudre ; c’est ce qu’il est bon de faire voir par quelques exemples.

Soit proposé de trouver quatre quantités en proportion continue, dont la somme soit donnée ainsi que celle de leurs carrés.

Nommant ces quantités inconnues $x,y,z,u,$ on aura par les conditions du Problème ces quatre équations

$xz=y^{2},\quad yu=z^{2},$

$x+y+z+u=a,\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}=b^{2},$

$a$ et $b$ étant des quantités connues.

Pour éliminer plus facilement les trois inconnues $y,z,u,$ et avoir une équation finale en $x,$ je fais $y=rx,$ et j’aurai, par les deux premières équations, $z=r^{2}x,\ u=r^{3}x,$ valeurs qui, étant substituées dans les