Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/41

$b,c,$ mais il faut voir à quel caractère on pourra distinguer ces différentes fonctions l’une de l’autre.

Je remarque d’abord que, si l’on suppose $a=0$ dans l’équation proposée, elle devient

$0=-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-\ldots ,$

de sorte qu’elle se décompose en ces deux-ci

${\begin{aligned}0=&x,\\0=&-b+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on voit que la supposition de $a=0$ doit rendre nulle une des racines de l’équation ; par conséquent, parmi les fonctions qui expriment ces racines il doit y en avoir une qui s’évanouisse en faisant $a=0\,;$ et il est clair qu’il ne doit y en avoir qu’une seule qui ait cette propriété, puisque l’évanouissement de $a$ ne réduit à zéro qu’une seule racine.

En conservant la supposition de $a=0,$ et faisant maintenant abstraction de la racine $x=0$ que nous avons déjà trouvée, les autres racines seront déterminées par l’équation

$0=-b+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots .$

Supposons de plus $b=0,$ et l’équation précédente se décomposera de nouveau en ces deux-ci

${\begin{aligned}0=&x,\\0=&c-dx+ex^{2}-\ldots ,\end{aligned}}$

ainsi cette supposition fera évanouir une nouvelle racine ; de sorte que parmi les fonctions qui représentent ces racines, il faudra qu’il y en ait une qui s’évanouisse en faisant $a=0$ et $b=0.$

En continuant le même raisonnement, on verra que parmi les fonctions dont il s’agit il y en aura aussi une qui s’évanouira par la supposition de

$a=0,\quad b=0,\quad c=0,$