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en y mettant ${\frac {1}{x}}$ à la place de $x\,;$ d’où il s’ensuit que si $x'$ en est une racine, ${\frac {1}{x'}}$ I $x'$ en sera une aussi, de sorte qu’on aura $x'x''=1,$ c’est-à-dire $x'x''-1=0\,;$ par la même raison on aura $x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-1=0,$$x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}-1=0,\ldots .$

On a donc, dans ce cas, une équation entre les racines $x',x'',$ qui subsiste aussi en changeant $x'$ en $x'',$ et qui a lieu de même entre les racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;$ entre $x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}.$ Donc, ces racines seront renfermées deux à deux dans les équations suivantes, dont le nombre sera ${\frac {\mu }{2}}$ ou ${\frac {\mu -1}{2}},$

${\begin{aligned}x^{2}-a'x\ \ +1&=0,\\x^{2}-a''x\ +1&=0,\\x^{2}-a'''x+1&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

les coefficients $a',a'',a''',\ldots ,$ étant racines d’une même équation du degré ${\frac {\mu }{2}}$ ou ${\frac {\mu -1}{2}},$ suivant que $\mu$ sera pair ou impair, comme nous l’avons déjà démontré par une méthode particulière (22). Voyez aussi sur ce sujet, outre les Miscellanea analytica de M. Moivre, le tome I^er des Commentaires de Bologne, et le tome VI des anciens Commentaires de Pétersbourg.

Au reste on peut, par les principes établis ci-dessus, rendre raison pourquoi la substitution de $y=x+{\frac {1}{x}}$ que nous avons employée dans le numéro cité doit conduire à une réduite du degré ${\frac {\mu }{2}}$ lorsque $\mu$ est pair. Car il est clair que les valeurs de $y,$ c’est-à-dire les racines de l’équation en $y$seront

$x'+{\frac {1}{x'}},\quad x''+{\frac {1}{x''}},\quad x'''+{\frac {1}{x'''}},\quad x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+{\frac {1}{x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\ldots ,$

mais on a $x''={\frac {1}{x'}},\ x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {1}{x'''}},\ldots ,$ donc ces racines seront

$x'+{\frac {1}{x'}},\quad x'+{\frac {1}{x'}},\quad x'''+{\frac {1}{x'''}},\quad x'''+{\frac {1}{x'''}},\ldots ,$