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Lettre De reductione equationum qui est imprimée à la suite de la Géométrie de Descartes. Il y fait voir comment une équation peut être abaissée à un moindre degré lorsqu’il y a entre quelques-unes de ses racines une relation telle, que leur somme, ou la somme des produits deux à deux, ou des produits trois à trois, ou, etc., est nulle ou égale à une quantité donnée ; comme aussi lorsqu’elle renferme des racines égales ou des diviseurs commensurables quelconques. D’autres Géomètres se sont ensuite exercés sur cette matière et ont perfectionné et étendu plus loin les règles et les méthodes de M. Hudde (voyez surtout l’excellent Ouvrage de M. Waring cité ci-dessus) ; mais on peut encore envisager ce sujet d’une manière plus générale d’après les principes établis dans les n^os 100 et suivants,

111. Si, dans l’équation du degré $\mu .$

$x^{\mu }+mx^{\mu -1}+nx^{\mu -2}+px^{\mu -3}+\ldots =0,$

dont les racines sont $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\mu )},$ on suppose qu’il y ait une relation connue entre quelques-unesde ces racines, comme entre celles-ci $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\lambda )},$ $\lambda$ étant plus petit que $\mu \,;$ il est d’abord clair que cette relation pourra toujours s’exprimer par une équation dont le premier membre sera une fonction algébrique de $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\lambda )}\,;$ de sorte qu’on connaîtra par ce moyen la valeur d’une fonction telle que

$f\left[(x')(x'')(x''')\ldots \left(x^{(\lambda )}\right)\right].$

Or :

1^o Si l’équation dont nous parlons est telle, qu’elle n’ait lieu qu’entre les racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\lambda )},$ et même d’une seule manière, en sorte qu’elle cesse d’être vraie si l’on fait une permutation quelconque entre ces racines, alors on pourra, généralement parlant, déterminer la valeur de chacune des racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\lambda )}$ en particulier sans la résolution d’aucune équation, de sorte que dans ce cas ces racines seront nécessairement toutes commensurables (104).

2^o Si l’équation qui renferme la relation donnée entre les racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\lambda )}$ n’a lieu à la vérité qu’entre ces racines, mais qu’elle sub-