109. Voilà, si je ne me trompe, les vrais principes de la résolution des équations et l’analyse la plus propre à y conduire ; tout se réduit, comme on voit, à une espèce de calcul des combinaisons, par lequel on trouve à priori les résultats auxquels on doit s’attendre. Il serait à propos d’en faire l’application aux équations du cinquième degré et des degrés supérieurs, dont la résolution est jusqu’à présent inconnue ; mais cette application demande un trop grand nombre de recherches et de combinaisons, dont le succès est encore d’ailleurs fort douteux, pour que nous puissions quant à présent nous livrer à ce travail ; nous espérons cependant pouvoir y revenir dans un autre temps, et nous nous contenterons ici d’avoir posé les fondements d’une théorie qui nous paraît nouvelle et générale.
110. Avant de terminer cette Section, nous croyons devoir encore traiter en peu de mots de la réduction ou abaissement des équations à un moindre degré, qui a lieu lorsqu’il y a entre quelques-unes des racines de l’équation proposée quelque relation donnée. Car, quand toutes les racines d’une équation ont entre elles les mêmes rapports, l’équation est alors nécessairement et essentiellementd’un degré égal au nombre des racines, et il est impossible, généralement parlant, qu’elle puisse s’abaisser à un moindre degré. C’est ainsi, par exemple, que le Problème de la trisection de l’angle, considéré en général, est nécessairement du troisième degré, puisqu’il y a trois différentes manières d’y satisfaire, lesquelles conduisent toutes à une même équation, où les trois solutions sont également renfermées. Cependant il y a, comme on sait, des cas particuliers où l’on réussit à rabaisser ce Problème au second degré, parce qu’il y a alors un rapport particulier entre deux des racines de l’équation.
Il en est de même de tous les Problèmes et de toutes les équations. S’il y a une relation particulière entre quelques-unes des racines d’une équation quelconque, on est assuré qu’elle peut s’abaisser à un moindre degré et si l’on connaît à priori cette relation, ou par la forme même de l’équation, ou par la nature du Problème qui y a conduit, on pourra toujours trouver la réduction dont elle est susceptible.
M. Hudde est, je crois, le premier qui ait traité cette matière dans la
