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Soit donc

${\rm {Y^{4}-AY^{3}+BY^{2}-CY+D=0}}$

l’équation dont les racines seraient ${\rm {Y',Y'',Y'''Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}}$ il est clair qu’on pourra la résoudre de deux manières :

1^o En faisant disparaître ses puissances impaires pour la réduire à la forme

${\rm {Y^{4}+BY^{2}+D=0.}}$

qui est résoluble a la manière de celles du second degré ; or pour cela il faudra que les racines ${\rm {Y',Y'',Y''',Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}$ soient deux à deux égales et de signes différents, c’est-à-dire que l’on ait

${\rm {Y'=-Y''\quad {\text{et}}\quad Y'''=-Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.}}$

Ainsi il faudra, dans ce cas, que la fonction $\Phi$ soit telle, que l’on ait

$\Phi \left[(x')(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right]=-\Phi \left[(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')\right],$

et

$\Phi \left[(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')\right]=-\Phi \left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')(x''')\right]\,;$

c’est-à-dire qu’elle ait la propriété de devenir négative en y changeant $x'$ en $x'',$ $x''$ en $x'''$ $x'''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ en $x'\,;$ auquel cas on aura aussi

$\Phi \left[(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')\right]=-\Phi \left[(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')\right]\,;$

d’où l’on voit qu’on aura en même temps

${\rm {Y'=-Y'',\quad Y''=-Y''',\quad Y'''=-Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;}}$

c’est-à-dire

${\rm {Y'=Y'''=-Y''=-Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,:}}$

ce qui rendra l’équation en $\mathrm {Y}$ de cette forme

$\mathrm {\left(Y^{2}-E\right)} ^{2}=0,\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad {\rm {Y^{2}-E=0.}}$

Et il est facile de voir que les autres équations dont les racines seront les quantités ${\rm {Y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}},}}$ ou ${\rm {Z',Z'',Z''',Z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}}$ ou, etc., se trouveront aussi par là réduites à la même forme, puisque ces racines ont entre elles