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De cette manière les trois fonctions précédentes pourront s’exprimer simplement par les formules

$f\left[\left(y',y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)\right],\quad f\left[\left(z',z^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)\right],\quad f\left[\left(u',u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)\right],$

et les quantités $y',y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,;\ z',z^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,;\ u',u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}$ seront les racines de trois équations du second degré telles que

${\begin{aligned}y^{2}-\ ay+b=&0,\\z^{2}-\ cz+d=&0,\\u^{2}-fu+g=&0,\end{aligned}}$

où les coefficients $a,c,f$ seront racines d’une équation du troisième degré, ainsi que les trois autres coefficients $b,d,g$.

Il ne reste donc qu’a trouver la forme que doit avoir la fonction pour que les conditions prescrites aient lieu. Pour y parvenir de la manière la plus générale, on prendra une autre fonction quelconque de $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ qu’on désignera par la caractéristique $\Phi \,:$ on formera, comme ci-dessus, les vingt-quatre fonctions qui répondent aux vingt-quatre permutations qu’on peut faire entre les racines $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;$ ; et l’on désignera ces fonctions par les quantités ${\rm {Y',Y'',\ldots ,Y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}},\ Z',Z'',\ldots ,Z^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}},}}$${\rm {U',U'',\ldots ,U^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}\,;}}$ c’est-à-dire qu’on changera dans les formules ci-dessus la caractéristique $\varphi$ en $\Phi ,$ et les petites lettres $y,z,u$ dans les grandes lettres ${\rm {Y,Z,U.}}$ Ensuite, en prenant de nouveau la caractéristique $\varphi$ pour désigner une fonction quelconque, il est facile de voir qu’on aura, en général,

${\begin{alignedat}{2}y'=&\varphi \left[\mathrm {\left(Y',Y'',Y''',Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)} \right],&y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=&\varphi \left[\mathrm {\left(Y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}\right)} \right],\\z'\,=&\varphi \left[\mathrm {\left(Z'\,,Z''\,,Z'''\,,Z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)} \right],&z^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,=&\varphi \left[\mathrm {\left(Z^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,,Z^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\,,Z^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}\,,Z^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}\right)} \right],\\u'=&\varphi \left[\mathrm {\left(U',U'',U''',U^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)} \right],&\qquad u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=&\varphi \left[\mathrm {\left(U^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},U^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},U^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},U^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}\right)} \right].\end{alignedat}}$

De là il est aisé de conclure que la détermination des fonctions ${\rm {Y',Y'',Y''',Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}$ dépendra maintenant d’une équation du quatrième degré, ainsi que celle des fonctions ${\rm {Y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}},}}$ et il en sera de même des autres fonctions ${\rm {Z',Z'',\ldots ,Z^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}}}$ et ${\rm {U',U'',\ldots ,U^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}}}$ qui dépendront aussi quatre à quatre d’équations du quatrième degré.