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$z^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},z^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},z^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}$ ces huit fonctions-ci

${\begin{array}{ll}\varphi \left[(x'')(x')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],&\varphi \left[(x''')(x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')\right],\\\varphi \left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x''')(x')(x'')\right],&\varphi \left[(x')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')(x''')\right],\\\varphi \left[(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')(x')\right],&\varphi \left[(x'')(x''')(x')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],\\\varphi \left[(x')(x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x''')\right],&\varphi \left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x''')(x'')\right],\end{array}}$

et par $u',u'',u''',u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},u^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},u^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},u^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}$ ces huit autres-ci

${\begin{array}{ll}\varphi \left[(x''')(x')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')\right],&\varphi \left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')(x')(x''')\right],\\\varphi \left[(x')(x''')(x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],&\varphi \left[(x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x''')\right],\\\varphi \left[(x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x''')\right],&\varphi \left[(x')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')\right],\\\varphi \left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')(x''')(x')\right],&\varphi \left[(x''')(x')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')\right],\end{array}}$

on verra aisément que, quelques permutations que l’on fasse entre les quatre racines $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ on n’aura jamais que ces trois fonctions différentes

${\begin{aligned}&f\left[\left(y',y'',y'''\,,y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,,y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\,,y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}\right)\right],\\&f\left[\left(z',z'',z'''\ ,z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},z^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ ,z^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\ ,z^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},z^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}\right)\right],\\&f\left[\left(u',u'',u''',u^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},u^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},u^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},u^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}\right)\right],\end{aligned}}$

qui seront par conséquent racines d’une équation du troisième degré.

Ainsi, la résolution générale de ce degré étant supposée, on pourra déterminer toutes les fonctions de la forme des précédentes ; mais, comme les quantités $y',y'',\ldots ,z',z'',\ldots ,u',u'',\ldots$ entrent de la même manière dans ces sortes de fonctions, il est clair que leur détermination dépendra encore de trois équations, chacune du huitième degré.

Il faudra donc tâcher de nouveau de rabaisser ces équations au-dessous du quatrième degré ; c’est ce qu’on obtiendra en supposant que la fonction représentée par la caractéristique $\varphi$ soit telle, qu’elle demeure la même en y changeant $x'$ en $x'',$ $x''$ en $x''',$ $x'''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ et $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ en $x'\,;$ car alors les quatre quantités $y',y'',y''',y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ deviendront égales, et les quatre autres $y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},$$y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}$ aussi égales ; et il en sera de même des quantités correspondantes $z',z'',\ldots$ et $u',u'',\ldots .$