en effet, si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'\ =&\varphi \left[(x',x''')\left(x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],\\z''=&\varphi \left[\left(x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x',x''')\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05603b21a863ea1d11ad13d5ad021205aede3a10)
et ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}u'\ =&\varphi \left[\left(x',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'',x''')\right],\\u''=&\varphi \left[(x'',x''')\left(x',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4602cd53481a5f387501249f655199e9c089cf31)
il est facile de voir qu’en faisant telle permutation qu’on voudra entre les quatre racines 
il n’en résultera jamais que ces trois fonctions différentes
![{\displaystyle f\left[(y',y'')\right],\quad f\left[(z',z'')\right],\quad f\left[(u',u'')\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2414c8399a38ac5638edec952a128fe2a746a926)
de sorte qu’elles seront nécessairement racines d’une même équation du troisième degré.
On pourra donc par la résolution d’une équation du troisième degré déterminer la valeur de toute fonction telle que ![{\displaystyle f\left[(y',y'')\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86f59e78ada2bd1d4f6027bb626bcff1f67a64a)
Ainsi, si l’on suppose que les quantités 
et 
soient les racines de cette équation du second degré
chacun des coefficients 
et 
sera donné par une équation du troisième degré, puisqu’il sera de la forme ![{\displaystyle f\left[(y',y'')\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cad38770cfba6cf62f174f2f98c234b38e7763)
de sorte que par là on connaîtra les deux quantités et 
Or si l’on suppose, ce qui est permis, que la fonction ![{\displaystyle \varphi \left[(x',x'')\left(x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834afb3e0e3f3146eae994425abe362f47df843e)
ne renferme que les deux racines 
et 
en sorte qu’elle soit simplement de la forme ![{\displaystyle \varphi \left[(x',x'')\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eda8ac5fe1b07521b2a2012b304bbbb7332a923)
on aura
![{\displaystyle y'=\varphi \left[(x',x'')\right]\quad {\text{et}}\quad y''=\varphi \left[\left(x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e843dfac60d22292b511c84bf7426f3dabc01949)
donc, si l’on prend et 
pour les racines de l’équation
et 
pour celles de l’équation
les valeurs des coefficients 
ne dépendront que d’équations du
