tion ne montera plus qu’au douzième degré (98). Supposons ensuite qu’on ait aussi
![{\displaystyle f\left[(x',x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right]=f\left[(x',x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x''')\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d846f9ed68e30c91a579d0699b0c2c261a276703)
c’est-à-dire que la forme de la fonction soit
l’équation se réduira par là au sixième degré. Enfin, si l’on suppose encore qu’on ait
![{\displaystyle f\left[(x',x'')\left(x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right]=f\left[\left(x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x',x'')\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0ff8cce6ecf09d435322777620cfdcc3be1c1b)
c’est-à-dire que la fonction proposée soit telle, qu’elle ne change point lorsqu’on y échange à la fois
et
en
et
elle se trouvera réduite à l’état demandé, puisqu’elle n’admettra plus que ces trois variations
![{\displaystyle f\left[(x',x'')\left(x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],\quad f\left[(x',x''')\left(x'',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],\quad f\left[\left(x',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'',x''')\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db17a79973c9d3dcb38344b7483c420d6f62ca35)
de sorte qu’elle ne pourra dépendre que d’une équation du troisième degré, dont ces trois fonctions seront les racines.
Pour trouver la forme générale de la fonction dont il s’agit, je prends, comme dans le no 105, une autre fonction quelconque, désignée par
et je la réduis d’abord à la forme
pour qu’elle demeure la même en
changeant
en
ou
en
supposant maintenant, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y'\ =&\varphi \left[(x',x'')\left(x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],\\y''=&\varphi \left[\left(x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x',x'')\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1dab30372d730b705fa638c2048ce12f8d4480)
il est clair que toute fonction de la forme
pourra s’exprimer par une fonction de
et
de sorte qu’on pourra représenter, en général, la fonction cherchée par
mais il faut, par l’hypothèse, que cette fonction demeure aussi la même en y changeant à la fois
et
en
et
donc, puisque par ces permutations les deux quantités
et
se changent l’une dans l’autre, il faudra que la fonction
soit de la forme ![{\displaystyle f\left[(y',y'')\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86f59e78ada2bd1d4f6027bb626bcff1f67a64a)
Ainsi l’expression générale de la fonction cherchée sera
![{\displaystyle f\left[(y',y'')\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cad38770cfba6cf62f174f2f98c234b38e7763)