107. Supposons maintenant qu’il y ait quatre racines, 
ce qui est le cas des équations du quatrième degré ; et, considérant la fonction générale ![{\displaystyle f\left[(x')(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c972df6b982fabf9a5d8924c4063ef0bc5d79adc)
on trouvera qu’elle devra dépendre d’une équation du degré 
dont les vingt-quatre racines seront (96)
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}f\left[(x')(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],&f\left[(x'')(x')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],\\f\left[(x''')(x'')(x')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],&f\left[(x'')(x''')(x')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],\\f\left[(x')(x''')(x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],&f\left[(x''')(x')(x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],\\f\left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')(x''')(x')\right],&f\left[(x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x''')(x')\right],\\f\left[(x''')(x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')\right],&f\left[(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')\right],\\f\left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x''')(x'')(x')\right],&f\left[(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')(x')\right],\\f\left[(x')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x''')(x'')\right],&f\left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x''')(x'')\right],\\f\left[(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')\right],&f\left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x''')(x')(x'')\right],\\f\left[(x')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')\right],&f\left[(x''')(x')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')\right],\\f\left[(x')(x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x''')\right],&f\left[(x'')(x')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x''')\right],\\f\left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')(x')(x''')\right],&f\left[(x'')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x''')\right],\\f\left[(x')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x'')(x''')\right],&f\left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')(x''')\right],\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9d47feea220bb17b08478dfb564806f6b9bd63)
Il faudra donc tâcher d’abaisser cette équation a un degré moindre que le quatrième, c’est-à-dire au second ou au troisième degré, et il conviendra de choisir ce dernier, comme étant le plus haut qu’on puisse admettre dans cette recherche. Pour cela, il faudra donc faire en sorte que les vingt-quatreracines que nous venons de trouver soient égales huit à huit, et l’on y parviendra en comparant ces racines les unes avec les autres de toutes les manières possibles, jusqu’à ce qu’on trouve une combinaison qui donne justement huit racines égales, car alors les seize autres seront aussi égales huit à huit (97).
Supposons d’abord
![{\displaystyle f\left[(x')(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right]=f\left[(x'')(x')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403d5ef615a8193e36a2a582a99d7bce3f43239b)
en sorte que la fonction proposée soit de la forme ![{\displaystyle f\left[(x',x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77df4183b0fe2a1423ab1a141ca4c9d4de8c8cc5)
et toutes les racines deviendront égales deux à deux, de manière que l’équa-
