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deux fonctions $\varphi \left[(x')(x'')(x''')\right]$ et $\varphi \left[(x'')(x')(x''')\right]$ et l’on aura celles des quatre autres fonctions dérivées de celles-ci, par le moyen des équations de condition ci-dessus. Or, ces fonctions étant connues, on pourra en déduire les valeurs de chacune des trois racines $x',x'',x'''$ (104).

106. Voilà donc le principe de la résolution des équations du troisième degré présenté de la manière la plus directe et la plus générale ; il est facile d’en faire des applications particulières et d’en déduire les différentes théories que nous avons données dans la Section I.

La forme la plus simple qu’on puisse donner à la fonction

$\varphi \left[(x')(x'')(x''')\right]$

est celle-ci

$\mathrm {A} x'+\mathrm {B} x''+\mathrm {C} x'''+\mathrm {D} ,$

$\mathrm {A,B,C,D}$ étant des constantes ; ainsi l’équation de condition sera

${\begin{aligned}\mathrm {A} x'+\mathrm {B} x''+\mathrm {C} x'''+\mathrm {D} +k=&\alpha ^{2}(\mathrm {A} x''+\mathrm {B} x'''+\mathrm {C} x'+\mathrm {D} +k)\\=&\alpha \,\ (\mathrm {A} x'''+\mathrm {B} x'+\mathrm {C} x''+\mathrm {D} +k)\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire ces équations

${\begin{aligned}&{\rm {A=\alpha ^{2}C=\alpha B,}}\\&{\rm {B=\alpha ^{2}A=\alpha C,}}\\&{\rm {C=\alpha ^{2}B=\alpha A,}}\\&\mathrm {D} +k=\alpha ^{2}(\mathrm {D} +k)=\alpha (\mathrm {D} +k).\end{aligned}}$

La seconde donne

${\rm {B=\alpha ^{2}A,\quad C=\alpha A,}}$

et ces valeurs satisfont aussi en même temps à la première et à la troisième, à cause de $\alpha ^{3}=1\,;$ quant à la quatrième, elle donnera

$\mathrm {D} +k=0,\quad \mathrm {et\ par\ cons{\acute {e}}quent} \quad \mathrm {D} =-k\,;$

ainsi la fonction proposée sera de la forme

$\mathrm {A} \left(x'+\alpha ^{2}x''+\alpha x'''\right)-k,$

qui, en faisant $k=0,$ est précisément la même à laquelle nous avons été conduits à posteriori dans la Section citée (5).