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caractéristique $\varphi ,$ soit telle qu’on ait, indépendamment de toute relation entre les racines $x',x'',x''',$

$\varphi \left[(x')(x'')(x''')\right]+k=\alpha ^{2}{\Bigl [}\varphi \left[(x'')(x''')(x')\right]+k{\Bigr ]}=\alpha {\Bigl [}\varphi \left[(x''')(x')(x'')\right]+k{\Bigr ]}.$

Et alors on aura aussi en échangeant $x'$ en $x'',$

$\varphi \left[(x'')(x')(x''')\right]+k=\alpha ^{2}{\Bigl [}\varphi \left[(x')(x''')(x'')\right]+k{\Bigr ]}=\alpha {\Bigl [}\varphi \left[(x''')(x'')(x')\right]+k{\Bigr ]}\,;$

c’est-à-dire

$z'+k=\alpha ^{2}(z''+k)=\alpha (z'''+k),$

moyennant quoi l’équation en $z$ se réduira aussi à la forme

$(z+k)^{3}-l'=0.$

Or, en comparant l’équation

$(y+k)^{3}-l=0$

avec l’équation

$y^{3}-ay^{2}+by-c=0,$

on a

$c=l-k^{3}\,;$

et par conséquent, à cause de

$l=(y+k)^{3}=(y'+k)^{3}$

(puisqu’on est maître de substituer, à la place de $y,$ une quelconque de ses racines),

$c=(y'+k)^{3}-k^{3}\,;$

on trouvera de même

$h=(z'+k)^{3}-k^{3}.$

De sorte que ces deux quantités

${\Bigl [}\varphi \left[(x')(x'')(x''')\right]+k{\Bigr ]}^{3}-k^{3}\quad {\text{et}}\quad {\Bigl [}\varphi \left[(x'')(x')(x''')\right]+k{\Bigr ]}^{3}-k^{3}$

seront les racines d’un’e équation du second degré, qu’on pourra par conséquent regarder comme la réduite générale du troisième degré.

Par la résolution de cette équation on connaîtra donc les valeurs des