Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/392

et, comme les coefficients $a,b,c$ sont des fonctions de la forme $f\left[(y',y'',y''')\right]$ et les coefficients $f,g,h$ des fonctions analogues de la forme $f\left[(z',z'',z''')\right],$ il résulte de ce qui précède que les coefficients correspondants $a$ et $f$ seront les racines d’une même équation du second degré, dont les coefficients seront donnés en $m,n,p,$ et il en sera de même des coefficients $b,g$ et $c,h\,;$ sur quoi il est bon de remarquer que dès qu’on aura trouvé les valeurs de $a$ et $f,$ on pourra, par leur moyen, trouver immédiatement celles de $b,g$ et $c,h,$ par la méthode du n^o 100.

Puis donc que les équations en $y$ et $z$ sont l’une et l’autre du troisième degré, il faut tâcher de les ramener à une forme qui en permette la résolution car, d’un côté, on ne saurait les résoudre, en général, au moins on est censé ne savoir pas les résoudre, puisque la résolution des équations de ce degré est précisément ce qui fait l’objet de cette recherche ; de l’autre, on ne peut pas employer la méthode du n^o 99 pour abaisser ces équations à un degré inférieur, à cause que l’exposant $3$ est un nombre premier qui n’a point de diviseur.

Or, comme la résolution des équations à deux termes est toujours possible, il conviendra de réduire les équations dont il s’agit à cet état ; ainsi nous supposerons que l’équation en $y$ devienne

$y^{3}-c=0,$

ou, plus généralement, de la forme

$(y+k)^{3}-l=0\,;$

et, pour trouver les conditions nécessaires pour cela, il n’y aura qu’à remarquer qu’en prenant $1,\alpha ,\alpha ^{2}$ pour dénoter les racines cubiques de l’unité, on aura

$y'+k={\sqrt[{3}]{l}},\quad y''+k=\alpha {\sqrt[{3}]{l}},\quad y'''+k=\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{l}},$

d’où l’on tire, à cause de $\alpha ^{3}=1,$

$y'+k=\alpha ^{2}(y''+k)=\alpha (y'''+k).$

Ainsi, il faudra que la fonction de $x',x'',x''',$ qu’on a désignée par la