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2^o Si les fonctions $t$ et $y$ sont telles, que la fonction $t$ conserve la même valeur par des permutations qui font varier la fonction $y,$ alors on ne pourra trouver la valeur de $y$ en $t$ et en $m,n,p,\ldots$ qu’au moyen d’une équation du second degré, si à une même valeur de $t$ répondent deux valeurs différentes de $y,$ ou du troisième degré, si à une même valeur de $t$ répondent trois valeurs différentes de $y$, et ainsi de suite. Les coefficients de ces équations en $y$ seront, généralement parlant, des fonctions rationnelles de $t$ et de $m,n,p,\ldots ,$ en sorte qu’étant donnée une valeur de $t,$ on aura $y$ par la simple résolution d’une équation du second ou du troisième degré, etc. ; mais s’il arrive que la valeur connue de $t$ soit une racine double ou triple, etc., de l’équation en $t,$ alors les coefficients des équations dont il s’agit dépendront encore eux-mêmes d’une équation du second ou du troisième degré, etc.

De là on peut déduire les conditions nécessaires pour pouvoir déterminer les valeurs mêmes des racines $x',x'',x''',\ldots ,$ au moyen de celles d’une fonction quelconque de ces racines ; car il n’y aura pour cela qu’à prendre la simple racine $x$ à la place de la fonction $y,$ et appliquer à ce cas les conclusions précédentes.

105. Voyons maintenant l’application qu’on peut faire des principes établis jusqu’ici, à la résolution générale des équations ; nous commencerons par examiner le cas où il n’y a que trois racines $x',x'',x''',$ c’est-à-dire où l’équation proposée est du troisième degré.

Dans ce cas, si l’on considère la fonction générale $f\left[(x')(x'')(x''')\right],$ on trouvera qu’elle doit dépendre d’une équation du degré $1.2.3,$ dont les six racines seront

${\begin{array}{ll}f\left[(x')(x'')(x''')\right],&f\left[(x'')(x')(x''')\right],\\f\left[(x''')(x'')(x')\right],&f\left[(x'')(x''')(x')\right],\\f\left[(x')(x''')(x'')\right],&f\left[(x''')(x')(x'')\right].\end{array}}$

Maintenant, pour pouvoir abaisser cette équation à un degré moindre que celui de la proposée, il est clair qu’il n’y a d’autre moyen que de faire en sorte que ses racines soient égales, trois à trois ; auquel cas elle