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ne pourra être qu’un sous-multiple de $\varpi .$ Or il y a ici deux cas à considérer, suivant que le nombre des valeurs différentes de la fonction donnée $t$ sera égal à $\varpi$ ou à un sous-multiple de $\varpi .$

1^o Supposons que les valeurs $t',t'',t''',\ldots ,t^{(\varpi )}$ de la fonction $t$ soient toutes différentes, c’est-à-dire représentées d’une manière différente ; en ce cas il est clair que l’équation $\theta =0$ aura nécessairement pour racines toutes ces différentes valeurs, en sorte qu’elle sera essentiellement du degré $\varpi ,$ quelles que soient d’ailleurs les valeurs de la fonction cherchée $y\,;$ ainsi la solution du n^o 100 s’appliquera également à ce cas.

2^o Supposons que parmi les valeurs $t',t'',t''',\ldots ,t^{(\varpi )}$ il n’y en ait qu’un nombre $\rho$ de différentes, $\rho$ étant un facteur de $\varpi ,$ en sorte que $\varpi =\rho \sigma \,;$ en ce cas, si $\theta =0$ est l’équation dont ces différentes valeurs sont les racines, il s’ensuit de ce qu’on a démontré dans le n^o 97 que l’équation qui aura toutes les valeurs $t',t'',t''',\ldots ,t^{(\varpi )}$ pour racines sera $\theta ^{\sigma }=0\,;$ en sorte que chacune de ses racines en aura $\sigma -1$ autres qui lui seront égales. On pourra donc encore appliquer à ce cas la solution générale du n^o 100, pourvu qu’on prenne $\theta ^{\sigma }=0$ pour l’équation en $t,$ c’est-à-dire qu’on fasse

$1+\mathrm {A} t+\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} t^{3}+\ldots =\theta ^{\sigma }\,;$

mais, à cause que chaque racine de cette équation est une racine égale, il faudra modiffér la solution par les règles données dans le n^o 102 pour le cas des racines égales ; et au lieu de trouver la valeur de chaque $y$ répondante à chaque $t,$ on ne trouvera plus que la valeur de la somme de toutes les $y$ qui répondront aux valeurs égales de $t\,;$ or, comme chacune des valeurs différentes de $t$ se trouve répétée $\sigma$ fois dans la série $t',t'',t''',\ldots ,t^{(\varpi )},$ et que d’ailleurs à chacune des valeurs de cette série il répond une valeur de la série $y',y'',y''',\ldots ,y^{(\varpi )},$ en sorte que les mêmes valeurs de $t$ et de $y$ ne se trouvent pas deux fois dans les mêmes séries à des places correspondantes, il s’ensuit qu’à chaque valeur différente de $t$ il répondra $\sigma$ valeurs différentes $y,$ et qu’ainsi en connaissant une valeur de $t$ on ne pourra connaître que la somme des $\sigma$ valeurs différentes de $y$ qui y répondent.