on parviendra, ainsi qu’on l’a déjà vu, aux deux équations de conditions
![{\displaystyle p-g(m-f)-f\left[n-g-f(m-f)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b59738d9cfb0d53e89f72d0d2888e779d27eeb)
![{\displaystyle q-g\left[n-g-f(m-f)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee4b67c2d7d80ab33241f95411734f7980a4778)
dont la première donne d’abord
![{\displaystyle g={\frac {p-nf+mf^{2}-f^{2}}{m-2f}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794cb65871a7632a3a535591c357a05e6b4baf29)
ainsi, ayant
exprimé rationnellement en
il suffira de trouver la valeur de
pour avoir celle de
sans aucune extraction de racines. Cependant, s’il arrive que la valeur de
soit égale à
et qu’on ait en même temps
cette valeur de
donnera
et il faudra alors, pour connaître la valeur de
avoir recours à l’autre équation où
monte au second degré, et qui est
![{\displaystyle g^{2}-\left(n-mf+f^{2}\right)g+q=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfa18929ae125cec5315c38b031062dce508ed3)
de sorte qu’en mettant
à la place de
on aura celle-ci
![{\displaystyle g^{2}-\left(n-{\frac {m^{2}}{4}}\right)g+q=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c042fe4e17449c5ac1c1e6593a5fc6cf058876f)
par la résolution de laquelle il faudra donc déterminer
Or je dis que le cas dont il s’agit est celui où la valeur
de
sera une racine double de l’équation en ![{\displaystyle f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb3ed2e17fa8f336dcc0fd4b3eddbfb02a50ef3)
Pour le prouver nous remarquerons que cette équation en
doit venir de la substitution de la valeur de
tirée de la première équation, dans la seconde ; ainsi faisant, pour abréger,
![{\displaystyle p-nf+mf^{2}-f^{3}=\mathrm {P} ,\quad m-2f=\mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133a2365b3905f0d116f3371ea63d02468657cb1)
en sorte que
on aura, pour l’équation en
celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {P} ^{2}-\left(n-mf+f^{2}\right)\mathrm {PQ} +q\mathrm {Q} ^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150eb6bee42e4f1bbad67a408ca33066579599a7)
,