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conque $\mu ,$ telle que

$x^{\mu }+mx^{\mu -1}+nx^{\mu -2}+px^{\mu -3}+\ldots =0,$

on veuille en trouver une autre d’un degré moindre $\lambda ,$ telle que

$x^{\lambda }+ax^{\lambda -1}+bx^{\lambda -2}+cx^{\lambda -3}+\ldots =0,$

qui ait toutes ses racines communes avec celle-là, c’est-à-dire qui en soit un diviseur ; on sait que les coefficients $a,b,c,\ldots$ seront tous des fonctions semblables des racines de la proposée, et qui seront susceptibles d’un nombre

${\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)\ldots (\mu -\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}$

de variations, en sorte que chacun de ces coefficients sera nécessairement donné en $m,n,p,\ldots$ par une équation d’un degré égal à ce même nombre (n^os 89 et 98). Or, dès qu’on connaîtra la valeur d’un quelconque de ces coefficients, on pourra, à l’aide du Problème que nous venons de résoudre, trouver la valeur de $c$hacun des autres coefficient ; et il s’ensuit de notre solution que si la valeur du coefficient supposé connu est une racine simple de l’équation d’où dépend la détermination de ce coefficient, tous les autres pourront être exprimés rationnellement, par celui-là ; mais si la valeur du coefficient connu est une racine double, ou triple, ou, etc., de la même équation, alors chacun des autres coefficients ne pourra être donné par celui-là que par le moyen d’une équation du second, ou du troisième, ou, etc., degré.

Pour confirmer à posteriori ce que nous venons de trouver à priori, prenons l’équation du quatrième degré

$x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q=0,$

et supposons, comme dans le n^o 35 (Section II), qu’elle soit divisible par celle-ci du second degré

$x^{2}+fx+g=0\,;$