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stitution, en traitant toujours les différences premières $dt$ comme constantes on différentiera ensuite un pareil nombre de fois le numérateur, et la nouvelle fraction qu’on aura de cette manière exprimera la somme d’autant de valeurs particulières de $y$ qu’il y aura d’unités dans le nombre des différentiations augmenté de l’unité, cette somme étant divisée par le nombre des valeurs de $y\,;$ et ces valeurs seront celles qui répondent aux valeurs égales de $t,$ dont le nombre, comme on sait, est toujours égal à celui des différentielles successivesde $\theta$ qui s’évanouissent en même temps, augmenté de l’unité.

On connaîtra donc ainsi la somme de ces différentes valeurs de $y\,;$ or, on pourra trouver de même la somme de leurs carrés, de leurs cubes, etc., car il n’y aura pour cela qu’à faire un nouveau calcul en prenant, à la place de la fonction $y,$ son carré $y^{2},$ et ensuite le cube $y^{3},$ etc. ; de là on tirera, par les formules connues, les valeurs des produits deux à deux, trois à trois, etc., des valeurs de $y\,;$ de sorte qu’on connaitra tous les coefficients de l’équation dont ces valeurs seront les racines ; et il faudra ensuite résoudre cette équation pour avoir chacune des valeurs cherchées en particulier.

D’où il s’ensuit que lorsque, parmi les valeurs $t',t'',t''',\ldots$ de la fonction $t,$ il s’en trouve deux ou plusieurs qui sont égales entre elles, celles des valeurs $y',y'',y''',\ldots$ qui répondent aux valeurs égales de $t$ ne pourront pas être données simplement par une fonction rationnelle de $t$ et des coefficients $m,n,p,\ldots$ de l’équation proposée ; mais elles le seront par une équation d’un degré égal au nombre de ces valeurs égales, et dont tous les coefficients seront eux-mêmes exprimés rationnellement en $t$ et en $m,n,p,\ldots .$

C’est ce qui est d’ailleurs bien naturel et conforme aux principes de l’Analyse. Car, puisqu’il y a différentes valeurs de $y$ qui répondent à une même valeur de $t,$ il est clair que chacune de ces valeurs de $y$ dépendra de la même manière de la valeur correspondante de $t,$ et qu’ainsi ces valeurs ne pourront être que les racines d’une même équation, dont les coefficients seront donnés en $t$ par des expressions rationnelles.

Supposons, par exemple, qu’ayant une équation d’un degré quel-