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Mais, puisque

$\theta =\left(1-{\frac {t}{t'}}\right)\left(1-{\frac {t}{t''}}\right)\left(1-{\frac {t}{t'''}}\right)\left(1-{\frac {t}{t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\right)\ldots$

$=\left(1-{\frac {t}{t'}}\right)^{2}\left(1-{\frac {t}{t'''}}\right)^{2}\left(1-{\frac {t}{t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\right)^{2}\ldots ,$

il est facile de voir qu’on aura, lorsque $t=t',$

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}={\frac {1}{t'^{2}}}\left(1-{\frac {t'}{t'''}}\right)\left(1-{\frac {t'}{t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\right)\ldots =\Pi \,;$

par conséquent

$\Pi ={\frac {2\mathrm {B} +2.3\mathrm {C} t'+3.4\mathrm {D} t'^{2}+\ldots }{2}}.$

Donc

${\frac {y'+y''}{2}}={\frac {{\dfrac {\mathrm {P} }{t'^{2}}}+{\dfrac {2\mathrm {Q} }{t'^{3}}}+{\dfrac {3\mathrm {R} }{t'^{4}}}+\ldots }{2\mathrm {B} +2.3\mathrm {C} t'+3.4\mathrm {D} t'^{2}+\ldots }}$

Ainsi, dans ce cas la formule ne donnera pas la valeur de chacune des inconnues $y',y'',$ qui répondent aux racines égales $t',t'',$ mais seulement celle de leur somme $y'+y'',$ et l’on voit, tant par l’expression précédente que par l’analyse d’où elle résulte, que la valeur de la moitié de cette somme résultera de l’expression générale de $y$ du numéro précédent, en prenant, la place du numérateur et du dénominateur, leurs différentielles divisées par $dt.$

On trouvera de la même manière que, lorsque la valeur donnée de $t$ sera une racine triple de l’équation $\theta =0,$ en sorte que l’on ait, par exemple, $t'=t''=t''',$ alors on ne pourra pas avoir en particulier chacune des fonctions correspondantes $y',y'',y''',$ mais seulement leur somme $y'+y''+y'''\,;$ et l’expression générale de $y$ donnera le tiers de cette somme en prenant, à la place du numérateur et du dénominateur de cette expression leurs différentielles secondes divisées par $dt^{2},$ et ainsi de suite.

102. En général, si en substituant la valeur connue de $t$ dans le dénominateur de l’expression générale de $y$ du n^o 101, on trouve que ce dénominateur devient nul, alors on le différentiera autant de fois de suite qu’il sera nécessaire pour qu’il ne devienne plus zéro par la même sub-