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Ces quantités étant donc trouvées, si l’on fait, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\rm {M\ +AM_{1}+BM_{2}+CM_{2}+\ldots ,}}\\\mathrm {Q} &={\rm {M_{1}+AM_{2}+BM_{3}+\ldots ,}}\\\mathrm {R} &={\rm {M_{2}+AM_{3}+\ldots ,}}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura, pour la valeur d’une $y$ quelconque,

$y=-{\frac {{\dfrac {\mathrm {P} }{t}}+{\dfrac {\mathrm {Q} }{t^{2}}}+{\dfrac {\mathrm {R} }{t^{3}}}+{\dfrac {\mathrm {S} }{t^{4}}}+\ldots }{\mathrm {A} +2\mathrm {B} t+3\mathrm {C} t^{2}+4\mathrm {D} t^{3}+\ldots }},$

en prenant pour $t$ la fonction correspondante à la fonction $y.$

101. Il est évident que cette solution servira toujours, quelle que soit la valeur donnée de $t,$ pourvu qu’elle ne rende pas nul le dénominateur

$\mathrm {A} +2\mathrm {B} t+3\mathrm {C} t^{2}+\ldots ={\frac {d\theta }{dt}}\,;$

or, comme la valeur de $t$ doit déjà être une racine de l’équation $\theta =0,$ il s’ensuit que le cas de ${\frac {d\theta }{dt}}=0$ n’aura lieu que lorsque cette valeur sera une racine multiple de la même équation $\theta =0.$

Pour trouver ce qui doit arriver dans ce cas-là, supposons que $t'$ soit la valeur donnée, de $t,$ laquelle répond à la valeur cherchée $y'$ de $y,$ et que dans la suite des valeurs $t',t'',t''',\ldots ,t^{(\varpi )},$ il s’en trouve une autre comme $t''$ qui soit égale à $t',$ en sorte que la valeur donnée $t'$ soit une racine double de l’équation $\theta =0\,;$ considérant d’abord les valeurs $t'$ et $t''$ comme inégales, on aura

${\begin{aligned}y'=&-{\frac {{\dfrac {\mathrm {P} }{t'}}+{\dfrac {\mathrm {Q} }{t'^{2}}}+{\dfrac {\mathrm {R} }{t'^{3}}}+{\dfrac {\mathrm {S} }{t^{4}}}+\ldots }{\mathrm {A} +2\mathrm {B} t'+3\mathrm {C} t'^{2}+4\mathrm {D} t'^{3}+\ldots }},\\y''=&-{\frac {{\dfrac {\mathrm {P} }{t''}}+{\dfrac {\mathrm {Q} }{t''^{2}}}+{\dfrac {\mathrm {R} }{t''^{3}}}+{\dfrac {\mathrm {S} }{t^{4}}}+\ldots }{\mathrm {A} +2\mathrm {B} t''+3\mathrm {C} t''^{2}+4\mathrm {D} t''^{3}+\ldots }}\,;\end{aligned}}$