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Et les équations

${\rm {T'=0,\quad T''=0,\quad T'''=0,\ldots \quad T^{(\varpi )}=0,}}$

à l’exception de $\mathrm {T} ^{(\rho )}=0,$ serviront à déterminer les $\varpi -1$ indéterminées ${\rm {N_{1},N_{2},N_{3},\ldots ,N_{(\varpi -1)}.}}$

En effet, pour que toutes ces équations particulières aient lieu à la fois ; il est visible qu’il faudra que l’équation générale $\mathrm {T} =0$ ait pour racines les quantités $t',t'',t''',\ldots ,t^{(\varpi )},$ à l’exception seulement de $t^{(\rho )}\,;$ donc, si l’on multiplie le polynôme $\mathrm {T} ,$ dont le terme tout connu est l’unité, par le facteur $1-{\frac {t}{t^{(\rho )}}},$ on aura le polynôme $\mathrm {T} \left(1-{\frac {t}{t^{(\rho )}}}\right),$ qui étant égalé à zéro aura pour racines toutes les quantités $t',t'',t''',\ldots ,t^{(\varpi )}\,;$ mais ces racines sont déjà celles de l’équation $\theta =0\,;$ donc, puisque le terme tout connu, tant du polynôme $\mathrm {T} \left(1-{\frac {t}{t^{(\rho )}}}\right)$ que du polynôme $\theta ,$ est égal à l’unité, il s’ensuit qu’on aura l’équation

$\mathrm {T} \left(1-{\frac {t}{t^{(\rho )}}}\right)=\theta ,$

ou bien

$1+\left(\mathrm {N} _{1}-{\frac {1}{t^{(\rho )}}}\right)t+\left(\mathrm {N} _{2}-{\frac {\mathrm {N} _{1}}{t^{(\rho )}}}\right)t^{2}+\left(\mathrm {N} _{3}-{\frac {\mathrm {N} _{2}}{t^{(\rho )}}}\right)t^{3}+\ldots$

$=1+\mathrm {A} t+\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} t^{3}+\ldots ,$

d’où, à cause que cette équation doit être identique, on tire

$\mathrm {N} _{1}-{\frac {1}{t^{(\rho )}}}=\mathrm {A} ,\quad \mathrm {N} _{2}-{\frac {\mathrm {N} _{1}}{t^{(\rho )}}}=\mathrm {B} ,\quad \mathrm {N} _{3}-{\frac {\mathrm {N} _{2}}{t^{(\rho )}}}=\mathrm {C} ,\ldots ,$

et de là

${\begin{aligned}\mathrm {N} _{1}&=\mathrm {A} +{\frac {1}{t^{(\rho )}}},\\\mathrm {N} _{2}&=\mathrm {B} +{\frac {\mathrm {A} }{t^{(\rho )}}}+{\frac {1}{t^{(\rho )2}}},\\\mathrm {N} _{3}&=\mathrm {C} +{\frac {\mathrm {B} }{t^{(\rho )}}}+{\frac {\mathrm {A} }{t^{(\rho )2}}}+{\frac {1}{t^{(\rho )3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Maintenant, pour trouver la valeur de la quantité $T^{(\rho )},$ on remarquera