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conduira à une équation du degré

${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2.3\ldots \lambda \times 1.2.3\ldots (\mu -\lambda )}}={\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)\ldots (\mu -\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}.$

Ainsi, si l’on voulait abaisser, en général, l’équation proposée du degré $\mu ,$ à une équation d’un degré inférieur $\lambda ,$ telle que

$x^{\lambda }+ax^{(\lambda -1)}+bx^{(\lambda -2)}+\ldots =0,$

laquelle eût toutes ses racines communes avec la proposée, c’est-à-dire dont les racines fussent $x',x'',x''',\ldots x^{(\lambda )},$ on tomberait nécessairement dans une équation du degré

${\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)\ldots (\mu -\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}$

pour la détermination de chaque coefficient $a,b,c,\ldots ,$ car ces coefficients seraient nécessairement des fonctions de la forme

$f\left[\left(x',x'',x''',\ldots ,x^{(\lambda )}\right)\right],$

comme on l’a fait remarquer dans le n^o 89. C’est aussi une proposition connue depuis longtemps, mais qu’on n’avait pas encore, ce me semble, démontrée en toute rigueur.

Or, comme en prenant $\lambda$ moindre que $\mu$ le nombre

${\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)\ldots (\mu -\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}$

ne peut jamais être plus petit que $\mu ,$ il s’ensuit que l’on ne peut rien se promettre de ces sortes de réductions pour la résolution générale des équations.

99. De tout ce que nous venons de démontrer il s’ensuit donc, en général il que toutes les fonctions semblables des racines $x',x'',x''',\ldots$ d’une même équation sont nécessairement données par des équations du même degré ; 2^o que ce degré sera toujours égal au nombre $1.2.3\ldots \mu$ ($\mu$ étant le degré de l’équation donnée), ou à un sous-multiple de ce