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aura pour exposant le nombre $1.2.3\alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1.2.3\ldots ,$ de manière que cette équation s’abaissera au degré ${\frac {1.2.3.4\ldots \mu }{1.2.3\alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1.2.3\ldots }}.$

On voit par là que toute fonction de la forme

$f\left[\left(x',x'',x''',\ldots ,x^{(\mu )}\right)\right],$

qui aura la propriété de demeurer la même, quelque permutation qu’on fasse entre les racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\mu )}$ de l’équation proposée, devra dépendre seulement d’une équation du degré ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2.3\ldots \mu }}=1,$ c’est-à-dire du premier degré ; de sorte qu’elle devra être déterminable algébriquement et rationnellement par les coefficients $m,n,p,\ldots$ de la proposée ; théorème que nous avons déjà supposé dans les Sections précédentes comme évident par soi-même, mais dont la démonstration rigoureuse dépend des principes établis ci-dessus.

On peut aussi conclure de ce qui précède que, si l’on a une fonction quelconque qui ne contienne qu’un nombre $\lambda ,$ des $\mu$ racines $x',x'',x''',\ldots ,$ en sorte qu’elle soit représentée par

$f\left[(x')(x'')(x''')\ldots \left(x^{(\lambda )}\right)\right],$

elle conduira simplement à une équation du degré ${\frac {1.2.3.4\ldots \mu }{1.2.3\ldots (\mu -\lambda )}}\,;$ car il est clair qu’on peut regarder la fonction proposée comme étant de la forme

$f\left[(x')(x'')(x''')\ldots (x^{(\lambda )})\left(x^{(\lambda +1)},x^{(\lambda +2)},x^{(\lambda +3)},\ldots ,x^{(\mu )}\right)\right],$

en supposant, ce qui est permis, que les racines $x^{(\lambda +1)},x^{(\lambda +2)},\ldots ,x^{(\mu )}$ y soient multipliées par des coefficients égaux à zéro ou élevées à des exposants égaux à zéro.

Donc la fonction

$f\left[(x',x'')\left(x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},\ldots ,x^{(\lambda )}\right)\right]$

conduira à une équation du degré ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2\times 1.2.3\ldots (\mu -\lambda )}},$ et ainsi des autres.

Et la fonction

$f\left[\left(x',x'',x''',\ldots ,x^{(\lambda )}\right)\right]$