tationes algebraïcœ, Ouvrage rempli d’excellentes recherches sur les équations.
97. Quoique l’équation
doive être, en général, du degré
qui est égal au nombre des permutations dont les
racines
sont susceptibles, cependant s’il arrive que la fonction soit telle, qu’elle ne reçoive aucun changement par quelqu’une ou quelques-unes de ces permutations, alors l’équation dont il s’agit s’abaissera nécessairement à un degré moindre.
Car supposons, par exemple, que la fonction
soit telle, qu’elle conserve la même valeur en échangeant
en
en
et
en
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle f\left[(x')(x'')(x''')(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\ldots \right]=f\left[(x'')(x''')(x')(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a3637bdbcb3dbfb6576a993441f9a7611dd346)
il est clair que l’équation
aura déjà deux racines égales ; mais je vais prouver que dans cette hypothèse toutes les autres racines seront aussi égales deux à deux. En effet, considérons une racine quelconque de la même équation, laquelle soit représentée par la fonction
![{\displaystyle f\left[(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})(x''')(x')(x'')\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a3e10c9175031f4fde5a407b8b3481aa98ec1a)
comme celle-ci dérive de la fonction
![{\displaystyle f\left[(x')(x'')(x''')(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57d6e544077aad499612c4e04b860d9babb98d0)
en échangeant
en
en
en
en
il s’ensuit qu’elle devra garder aussi la même valeur en y changeant
en
en
et
en
de sorte qu’on aura aussi
![{\displaystyle f\left[(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})(x''')(x')(x'')\ldots \right]=f\left[(x''')(x')(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})(x'')\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264d15816212f3d32fd6614b389479cd9a9303d7)
Donc, dans ce cas, la quantité
sera égale à un carré,
et par conséquent l’équation
se réduira à celle-ci
dont la dimension sera ![{\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018a63d27615a64395122817c8a265222975003f)
On démontrera de la même manière que, si la fonction
![{\displaystyle f\left[(x')(x'')(x''')(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e1f79b68ffefd2f5417a823fa6dd67c7515a4b4)