Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/369

simples permutations entre les quantités $x',x'',x'''\,;$ il est clair en effet que, comme ces quantités sont toutes déterminées de la même manière par l’équation

$x^{3}+mx^{2}+nx+p=0,$

dont elles sont les racines, l’équation qui donnera la valeur d’une fonction quelconque des mêmes quantités devra donner également les autres fonctions qui viendront de toutes les permutations possibles entre elles. Cette proposition paraît même assez évidente par elle-même pour n’avoir pas besoin de démonstration ; mais on ne voit pas aussi évidemment, ce me semble, que l’équation dont il s’agit ne devra contenir d’autres racines que les différentes fonctions qui viendront des permutations entre les racines de la proposée ; c’est-à-dire qu’en supposant cette équation formée du produit des facteurs simples

$t-f\left[(x')(x'')(x''')\right],\quad t-f\left[(x'')(x')(x''')\right],\ldots ,$

chacun des coefficients pourra toujours s’exprimer par une fonction rationnelle des coefficients $m,n,\ldots$ de l’équation proposée ; or c’est sur quoi notre démonstration ne laisse aucun doute, puisque l’on a vu que la quantité $\Theta ,$ qui est égale à ce produit, est toujours nécessairement une fonction rationnelle de $t,m,n\ldots .$

95. Si l’équation proposée était d’un degré plus haut, en sorte qu’elle eùt quatre ou un plus grand nombre de racines $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ on pourrait trouver de même l’équation $\Theta =0,$ qui servirait à déterminer la fonction $f\left[(x')(x'')(x''')(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\ldots \right]\,;$ et l’on verrait que la quantité $\Theta$ serait le produit d’autant de facteurs simples tels que

${\begin{aligned}&t-f\left[(x')(x'')(x''')(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\ldots \right],\\&t-f\left[(x'')(x')(x''')(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\ldots \right],\\&t-f\left[(x''')(x'')(x')(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\ldots \right],\\&t-f\left[(x'')(x''')(x')(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}})\ldots \right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

qu’il y a de permutations possibles entre les racines $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots \,;$ de sorte que, si l’équation proposée est du degré $\mu ,$ le nombre des fac-