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93. Pour trouver donc cette équation $\Theta =0,$ il n’y aura qu’à éliminer des cinq équations

${\begin{aligned}&t-f\left[(x)(y)(z)\right]=0,\\&t-f\left[(x)^{2}(y)\right]=0,\\&t-f\left[(x)(y)^{2}\right]=0,\\&t-f\left[(x)(y)(x)\right]=0,\\&t-f\left[(x)^{3}\right]=0,\end{aligned}}$

les inconnues $x,y,z$ par le moyen des équations

${\begin{aligned}x^{3}+mx^{2}+nx+p=&0,\\y^{3}\,+my^{2}+ny+p=&0,\\z^{3}\,+mz^{2}+nz+p=&0.\end{aligned}}$

et, désignant les équations finales résultantes par

$\mathrm {T} =0,\quad \mathrm {T} _{1}=0,\quad \mathrm {T} _{2}=0,\quad \mathrm {T} _{3}=0,\quad \theta =0,$

on aura

$\mathrm {T} _{1}=\theta \theta _{1},\quad \mathrm {T} _{2}=\theta \theta _{2},\quad \mathrm {T} _{3}=\theta \theta _{3},\quad \mathrm {T} =\Theta \theta \theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}\,;$

par conséquent

$\Theta =\mathrm {\frac {T\theta ^{2}}{T_{1}T_{2}T_{3}}} .$

Cette méthode au reste serait extrêmement longue et pénible dans la pratique, et elle le deviendrait de plus en plus, à mesure que l’équation proposée serait d’un degré plus haut ; aussi ne l’ai-je donnée ici que parce qu’elle sert à faire connaître, d’une manière directe et indépendante de toute considération étrangère, la nature de l’équation cherchée $\Theta =0.$

94. En effet il est visible, par l’expression de donnée ci-dessus (92), que la réduite $\Theta =0$ sera du sixième degré, ayant pour racines les fonctions

${\begin{array}{lll}f\left[(x')(x'')(x''')\right],&f\left[(x'')(x')(x''')\right],&f\left[(x''')(x'')(x')\right],\\f\left[(x')(x''')(x'')\right],&f\left[(x''')(x')(x'')\right],&f\left[(x'')(x''')(x')\right],\end{array}}$

lesquelles sont toutes semblables, et dérivent l’une de l’autre par de