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on aura, pour équation finale, $\theta \theta _{1}=0,$ où la quantité $\theta \theta _{1}$ sera par conséquent une fonction rationnelle de $t,m,n,p\,;$ et comme $\theta$ en est une aussi, il s’ensuit que $\theta _{1},$ sera de même une fonction rationnelle de $t$ et de $m,n,p.$

Pareillement, si l’on fait

$t-f\left[(x)(y)^{2}\right]=0$

et qu’on élimine $x$ et $y$ par les mêmes équations, on trouvera cette équation finale $\theta \theta _{2}=0,$ dans laquelle la quantité $\theta \theta _{2}$ sera donc une fonction rationnelle de $t,m,n,p\,;$ de sorte que la quantité $\theta _{2}$ en sera une aussi.

Enfin, si l’on fait

$t-f\left[(x)(y)(x)\right]=0,$

et qu’on élimine de même $x$ et $y,$ on trouvera pour équation finale $\theta \theta _{3}=0\,;$ de sorte que la quantité $\theta \theta _{3}$ sera une fonction rationnelle de $t,m,n,p,$ et par conséquent la quantité $\theta _{3}$ en sera aussi une.

Donc, puisque les quantités $\theta ,\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$ sont chacune des fonctions rationnelles de $t$ et des coefficients $m,n,p,$ il s’ensuit que l’équation

$\mathrm {T} =0\quad {\text{savoir}}\quad \Theta \theta \theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}=0,$

pourra se décomposer en celles-ci

$\theta =0,\quad \theta _{1}=0,\quad \theta _{2}=0,\quad \theta _{3}=0,\quad {\text{et}}\quad \Theta =0\,;$

de sorte que la quantité $\Theta$ sera aussi une fonction rationnelle de $t,m,n,p.$

Or il est facile de voir que les équations

$\theta =0,\quad \theta _{1}=0,\quad \theta _{2}=0,\quad \theta _{3}=0$

sont toutes étrangères à la question proposée, c’est-à-dire à la détermination de la fonction $f\left[(x')(x'')(x''')\right]\,;$ car ces équations, comme il paraît par les expressions des quantités $\theta ,\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},$ ont pour racines des fonctions de $x',x'',x'''$ d’une forme différente de la proposée ; ainsi il ne restera que l’équation $\Theta =0,$ qui renfermera par conséquent toutes les racines utiles à la solution du Problème.