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équations

${\begin{aligned}x^{3}+mx^{2}+nx+p=&0,\\y^{3}+my^{2}+ny+p=&0,\\z^{3}+mz^{2}+nz+p=&0.\end{aligned}}$

Soit

$t-f\left[(x)(y)(z)\right]=\mathrm {X} \,;$

qu’on élimine d’abord de l’équation $\mathrm {X} =0$ la quantité $x$ par le moyen de l’équation en $x,$ on aura une seconde équation que je désignerai par $\mathrm {Y} =0,$ et où $\mathrm {Y}$ sera une fonction rationnelle de $t,y,z,$ et des coefficients $m,n,p.$ Qu’on élimine ensuite $y$ de l’équation $\mathrm {Y} =0$ par le moyen de l’équation en $y,$ on aura une troisième équation, que je désignerai par $\mathrm {Z} =0,$ et où $\mathrm {Z}$ sera une fonction rationnelle de $t,z$ et des coefficients $m,n,p.$ Qu’on élimine enfin de cette équation $\mathrm {Z} =0$ la quantité $z,$ par le moyen de l’équation en $z,$ on aura une équation finale, qu’on pourra désigner par $\mathrm {T} =0,$ et où $\mathrm {T}$ sera une fonction rationnelle de $t,m,n,p.$

Or, puisque les racines de l’équation en $x$ sont $x',x'',x''',$ si l’on désigne par $\mathrm {X',X'',X'''}$ les valeurs, de $\mathrm {X}$ qui résultent des substitutions de ces racines à la place de $x,$ on aura, par le n^o 13,

$\mathrm {Y=X'X''X'''} .$

De même, puisque les racines de l’équation en $y$sont aussi $x',x'',x''',$ si l’on dénote par $\mathrm {Y',Y'',Y'''}$ les valeurs de $\mathrm {Y}$ qui résultent des substitutions de ces racines à la place de $y$, on aura par la même raison

$\mathrm {Z=Y'Y''Y'''} .$

Enfin, comme l’équation en $z$ a aussi les mêmes racines $x',x'',x''',$ dénotant par $\mathrm {Z',Z'',Z'''}$ les valeurs de $\mathrm {Z}$ qui résultent de leurs substitutions à la place de $z,$ on aura

$\mathrm {T=Z'Z''Z'''} .$

Mais il est clair qu’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ =&t-f\left[(x'\ \ )(y)(z)\right],\\\mathrm {X} ''\ =&t-f\left[(x''\ )(y)(z)\right],\\\mathrm {X} '''=&t-f\left[(x''')(y)(z)\right].\end{aligned}}$